This is the last part of the lecture notes for the course in integral transforms.
1. Fourierreihen und das Abtasttheorem
Neben der Fourier-Transformation auf
,
,
und
sind auch analoge Transformationen für Funktionen
auf Rechtecken
interessant. Dies führt auf die sogenannten Fourierreihen. Mit ihrer Hilfe werden wir das Abtasttheorem beweisen
1.1. Fourierreihen in 
Wir betrachten vorerst eindimensionale Signale
. Signale auf allgemeinen beschränkten Intervallen erhalten wir durch Skalierung und höherdimensionale Abbildungen werden wir durch “Tensorproduktbildung” behandeln können. In diesem Abschnitt werden wir uns alle Funktionen auf einem beschränkten Intervall (wie z.B.
) als periodisch auf ganz
fortgesetzt denken. Z.B. hat die Funktion
(auf
) für uns hier eine Sprungstelle bei
. Als Nebeneffekt können wir Integrale von periodischen Funktionen auch über verschobene Intervalle ausrechnen, wenn es sich anbietet, d.h. für
-periodisches
und jedes
gilt

Im Falle von Fourierreihen können wir, anders als im Fall der Fourier-Transformation, gleich im Hilbert-Raum
beginnen. Wir statten ihn mit dem normalisierten Skalarprodukt
![\displaystyle \langle u,v\rangle_{[-\pi,\pi]} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi u(x)\overline{v}(x){\mathrm d}{x} \displaystyle \langle u,v\rangle_{[-\pi,\pi]} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi u(x)\overline{v}(x){\mathrm d}{x}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++%5Clangle+u%2Cv%5Crangle_%7B%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%5Cpi+u%28x%29%5Coverline%7Bv%7D%28x%29%7B%5Cmathrm+d%7D%7Bx%7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
aus, welches die Norm
![\displaystyle \|u\|_{[-\pi,\pi]} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Big(\int_{-\pi}^\pi |u(x)|^2{\mathrm d}{x}\Big)^{1/2} \displaystyle \|u\|_{[-\pi,\pi]} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Big(\int_{-\pi}^\pi |u(x)|^2{\mathrm d}{x}\Big)^{1/2}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++%5C%7Cu%5C%7C_%7B%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%5CBig%28%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%5Cpi+%7Cu%28x%29%7C%5E2%7B%5Cmathrm+d%7D%7Bx%7D%5CBig%29%5E%7B1%2F2%7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
nach sich zieht.
Bei komplexen Fourier-Reihen wird eine Funktion
als Reihe in den komplexen Exponentialfunktionen

geschrieben. Die Zahlen

heißen (komplexe) Fourier-Koeffizienten von
.
Satz 1 Die Funktionen
bilden eine Orthonormalbasis von
. Insbesondere lässt sich jede Funktion
als Fourierreihe

schreiben, wobei die Reihe im
-Sinn konvergiert. Insbesondere gilt
![\displaystyle \|u\|_{[-\pi,\pi]}^2 = \sum_{k\in{\mathbb Z}} |c_k|^2 \qquad \text{(Parseval Identit\"at)}. \displaystyle \|u\|_{[-\pi,\pi]}^2 = \sum_{k\in{\mathbb Z}} |c_k|^2 \qquad \text{(Parseval Identit\"at)}.](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++%5C%7Cu%5C%7C_%7B%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D%7D%5E2+%3D+%5Csum_%7Bk%5Cin%7B%5Cmathbb+Z%7D%7D+%7Cc_k%7C%5E2+%5Cqquad+%5Ctext%7B%28Parseval+Identit%5C%22at%29%7D.+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
Beweis: Die Orthonormalität der
lässt sich elementar nachrechnen. Um zu zeigen, dass die
eine Basis bilden, zeigen wir, dass die lineare Hülle der
dicht in
liegt. Nach dem Weierstraßschen Approximationssatz für trigonometrische Polynome existiert für jede stetige Funktion
und jedes
ein trigonometrisches Polynom
, so dass
. Es folgt
![\displaystyle \|u-P_k\|_{[-\pi,\pi]}^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |u(x)-P_k(x)|^2{\mathrm d}{x} \leq \varepsilon^2. \displaystyle \|u-P_k\|_{[-\pi,\pi]}^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |u(x)-P_k(x)|^2{\mathrm d}{x} \leq \varepsilon^2.](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++%5C%7Cu-P_k%5C%7C_%7B%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D%7D%5E2+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%5Cpi+%7Cu%28x%29-P_k%28x%29%7C%5E2%7B%5Cmathrm+d%7D%7Bx%7D+%5Cleq+%5Cvarepsilon%5E2.+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
Da die stetigen Funktionen in
dicht liegen, lässt sich auch jede
-Funktion beliebig gut durch trigonometrische Polynome approximieren und wir sehen, dass die
eine Basis bilden. Die Reihendarstellung und die Parseval Identität sind eine direkt Konsequenz aus allgemeinen Aussagen über Orthonormalbasen in Hilbert-Räumen. 
Mit Hilfe des oben definierten Skalarproduktes kann man die Fourier-Entwicklung auch schreiben als
![\displaystyle u = \sum_{k\in{\mathbb Z}}\langle u,e_k\rangle_{[-\pi,\pi]} e_k \displaystyle u = \sum_{k\in{\mathbb Z}}\langle u,e_k\rangle_{[-\pi,\pi]} e_k](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++u+%3D+%5Csum_%7Bk%5Cin%7B%5Cmathbb+Z%7D%7D%5Clangle+u%2Ce_k%5Crangle_%7B%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D%7D+e_k+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
was noch einmal deutlicher herausstellt, dass es sich bei den
um eine Orthonormalbasis handelt.
Das summierbare Folgen Nullfolgen sind, ist folgt aus der Parseval-Identität:
Korollar 2 (Riemann-Lebesgue-Lemma für Fourier-Reihen) Für die Fourier-Koeffizienten
einer Funktion
gilt

Bemerkung 3 (Reelle Fourier-Koeffizienten) Über die Eulersche Formel lassen sich auch “reelle” Fourier-Koeffizienten bestimmen. Diese sind

und

Für reellwertige Funktionen sind die
und
reellwertig. Ist
gerade (d.h.
) gilt
, ist
ungerade (
), so gilt
.
Bemerkung 4 Für Funktionen in
definieren wir das Skalarprodukt
![\displaystyle \langle u,v\rangle_{[-B,B]} = \frac{1}{2B}\int_{-B}^Bu(x)\overline{v}(x){\mathrm d}{x}. \displaystyle \langle u,v\rangle_{[-B,B]} = \frac{1}{2B}\int_{-B}^Bu(x)\overline{v}(x){\mathrm d}{x}.](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++%5Clangle+u%2Cv%5Crangle_%7B%5B-B%2CB%5D%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2B%7D%5Cint_%7B-B%7D%5EBu%28x%29%5Coverline%7Bv%7D%28x%29%7B%5Cmathrm+d%7D%7Bx%7D.+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
Die Funktionen
bilden hier eine Orthonormalbasis und mit den Fourier-Koeffizienten von
![\displaystyle \langle u,e_k\rangle_{[-B,B]} = \frac{1}{2B}\int_{-B}^B u(x) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k\tfrac{\pi}{B}x}{\mathrm d}{x} \displaystyle \langle u,e_k\rangle_{[-B,B]} = \frac{1}{2B}\int_{-B}^B u(x) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k\tfrac{\pi}{B}x}{\mathrm d}{x}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++%5Clangle+u%2Ce_k%5Crangle_%7B%5B-B%2CB%5D%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2B%7D%5Cint_%7B-B%7D%5EB+u%28x%29+%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-%5Cmathrm%7Bi%7D+k%5Ctfrac%7B%5Cpi%7D%7BB%7Dx%7D%7B%5Cmathrm+d%7D%7Bx%7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
gilt
![\displaystyle u = \sum_{k\in{\mathbb Z}}\langle u,e_k\rangle_{[-B,B]}e_k. \displaystyle u = \sum_{k\in{\mathbb Z}}\langle u,e_k\rangle_{[-B,B]}e_k.](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++u+%3D+%5Csum_%7Bk%5Cin%7B%5Cmathbb+Z%7D%7D%5Clangle+u%2Ce_k%5Crangle_%7B%5B-B%2CB%5D%7De_k.+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
Auf einem
-dimensionalen Rechteck
definieren wir die Funktion
durch

und erhalten eine Orthonormalbasis in
bezüglich des Skalarproduktes

1.2. Punktweise Konvergenz von Fourier-Reihen
Die Konvergenz der Fourier-Reihe einer
-Funktion in
-Sinne ist (mit Hilfe des Weierstraßschen Approximationssatzes) nicht sehr schwierig zu zeigen. Im Allgemeinen kann die Konvergenz von Fourier-Reihen sehr schwierig sein. Wir gehen in diese Richtung nicht allzu sehr in die Tiefe. Wir wollen die Partialsummen der Fourier-Reihen betrachten, d.h. zu
die Funktion
![\displaystyle S_N(x) = \sum_{k=-N}^N \langle u,e_k\rangle_{[-\pi,\pi]}\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}. \displaystyle S_N(x) = \sum_{k=-N}^N \langle u,e_k\rangle_{[-\pi,\pi]}\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}.](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++S_N%28x%29+%3D+%5Csum_%7Bk%3D-N%7D%5EN+%5Clangle+u%2Ce_k%5Crangle_%7B%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D%7D%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B%5Cmathrm%7Bi%7D+kx%7D.+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
Wir beginnen mit dem Faltungsatz für Fourier-Reihen:
Lemma 5 (Fourier-Koeffizienten der periodischen Faltung) Es seien
(
-periodisch auf
fortgesetzt). Die periodische Faltung von
und
ist

und es gilt:
![\displaystyle \langle f*g,e_k\rangle_{[-\pi,\pi]} = 2\pi\langle f,e_k\rangle_{[-\pi,\pi]}\langle g,e_k\rangle_{[-\pi,\pi]}, \displaystyle \langle f*g,e_k\rangle_{[-\pi,\pi]} = 2\pi\langle f,e_k\rangle_{[-\pi,\pi]}\langle g,e_k\rangle_{[-\pi,\pi]},](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++%5Clangle+f%2Ag%2Ce_k%5Crangle_%7B%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D%7D+%3D+2%5Cpi%5Clangle+f%2Ce_k%5Crangle_%7B%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D%7D%5Clangle+g%2Ce_k%5Crangle_%7B%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D%7D%2C+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
d.h. die Fourier-Koeffizienten der Funktion
sind (bis auf den Vorfaktor) die Produkte der Fourier-Koeffizienten von
und
.
Beweis: Mit dem Satz von Fubini folgt
![\displaystyle \begin{array}{rcl} \langle f*g,e_k\rangle_{[-\pi,\pi]} &= & \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \int_{-\pi}^\pi f(y)g(x-y){\mathrm d}{y}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} kx}{\mathrm d}{x}\\ &=& \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(y) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} ky}\int_{-\pi}^\pi g(x-y){\mathrm d}{y}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k(x-y)}{\mathrm d}{x}\\ &=& 2\pi \langle f,e_k\rangle_{[-\pi,\pi]} \langle g,e_k\rangle_{[-\pi,\pi]} . \end{array} \displaystyle \begin{array}{rcl} \langle f*g,e_k\rangle_{[-\pi,\pi]} &= & \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \int_{-\pi}^\pi f(y)g(x-y){\mathrm d}{y}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} kx}{\mathrm d}{x}\\ &=& \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(y) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} ky}\int_{-\pi}^\pi g(x-y){\mathrm d}{y}\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k(x-y)}{\mathrm d}{x}\\ &=& 2\pi \langle f,e_k\rangle_{[-\pi,\pi]} \langle g,e_k\rangle_{[-\pi,\pi]} . \end{array}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D++%5Clangle+f%2Ag%2Ce_k%5Crangle_%7B%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D%7D+%26%3D+%26+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%5Cpi+%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%5Cpi+f%28y%29g%28x-y%29%7B%5Cmathrm+d%7D%7By%7D%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-%5Cmathrm%7Bi%7D+kx%7D%7B%5Cmathrm+d%7D%7Bx%7D%5C%5C+%26%3D%26+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%5Cpi+f%28y%29+%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-%5Cmathrm%7Bi%7D+ky%7D%5Cint_%7B-%5Cpi%7D%5E%5Cpi+g%28x-y%29%7B%5Cmathrm+d%7D%7By%7D%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-%5Cmathrm%7Bi%7D+k%28x-y%29%7D%7B%5Cmathrm+d%7D%7Bx%7D%5C%5C+%26%3D%26+2%5Cpi+%5Clangle+f%2Ce_k%5Crangle_%7B%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D%7D+%5Clangle+g%2Ce_k%5Crangle_%7B%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D%7D+.+%5Cend%7Barray%7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)

Die Partialsummen
lassen sich als Faltung schreiben:
Satz 6 Es sei
und zu
definieren wir
![\displaystyle S_N(x) = \sum_{k=-N}^N \langle u,e_k\rangle_{[-\pi,\pi]}\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}. \displaystyle S_N(x) = \sum_{k=-N}^N \langle u,e_k\rangle_{[-\pi,\pi]}\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}.](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++S_N%28x%29+%3D+%5Csum_%7Bk%3D-N%7D%5EN+%5Clangle+u%2Ce_k%5Crangle_%7B%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D%7D%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B%5Cmathrm%7Bi%7D+kx%7D.+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
Dann gilt mit dem Dirichlet-Kern

dass

Beweis: Das Ergebnis lässt wie folgt erahnen: Sind
die Fourier-Koeffizienten von
und ist
(
),
(
), so ist

Auf Grund der vorigen Lemmas vermuten wir also, dass es sich bei
um die Funktion
handelt. Das stimmt in der Tat: Mit Hilfe der geometrischen Summe folgt für

Mit
folgt

Nun rechnen wir


Satz 7 (Punktweise Konvergenz der Fourier-Reihe von differenzierbaren Funktionen) Es sei
differenzierbar (periodisch fortgesetzt auf
und dabei in
ebenfalls differenzierbar). Dann gilt für jedes

Beweis: Aus der Darstellung
folgt direkt, dass

Es gilt

Die Funktion
ist in jedem
stetig, und lässt sich nach
durch
stetig fortsetzen, insbesondere ist
eine
-Funktion. Es gilt also

Nach dem Riemann-Lebesgue-Lemma (Korollar 2) geht die rechte Seite für
gegen Null und es folgt die Behauptung. 
Bemerkung 8 Ein genauer Blick auf den Beweis offenbart, dass sich die Voraussetzungen in obigem Satz abschwächen lassen: ist die Funktion

eine Funktion für die das Riemann-Lebesgue-Lemma gilt (d.h. die Fourier-Koeffizienten gehen gegen Null), so konvergiert die Fourier-Reihe von
im Punkt
. Das Riemann-Lebesgue-Lemma gilt nicht nur für
-Funktionen, sondern auch für integrierbare (d.h.
) Funktionen. Dies folgt zum Beispiel aus Aufgabe 25: Eine Funktion
lässt sich durch Null-Fortsetzung zu einer Funktion
machen. Dann gilt
![\displaystyle \langle f,e_k\rangle_{[-\pi,\pi]} = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb R} \tilde f(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k x}{\mathrm d}{x} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\widehat{\tilde f}(k)\rightarrow 0\quad |k|\rightarrow\infty. \displaystyle \langle f,e_k\rangle_{[-\pi,\pi]} = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb R} \tilde f(x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i} k x}{\mathrm d}{x} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\widehat{\tilde f}(k)\rightarrow 0\quad |k|\rightarrow\infty.](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++%5Clangle+f%2Ce_k%5Crangle_%7B%5B-%5Cpi%2C%5Cpi%5D%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7B%5Cmathbb+R%7D+%5Ctilde+f%28x%29%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-%5Cmathrm%7Bi%7D+k+x%7D%7B%5Cmathrm+d%7D%7Bx%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%5Cwidehat%7B%5Ctilde+f%7D%28k%29%5Crightarrow+0%5Cquad+%7Ck%7C%5Crightarrow%5Cinfty.+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
Die Stetigkeit von
in
ist allerdings nicht genug, um die Konvergenz der Fourier-Reihe in
zu garantieren; es gibt mehr oder minder explizite Gegenbeispiele, siehe z.B. Kapitel II, Abschnitt 2 in “An Introduction to Harmonic Analysis” von Yitzhak Katznelson. In eben diesem Buch ist auch das Ergebnis von Kolmogorov zu finden, dass es eine
-Funktion gibt, deren Fourier-Reihe überall divergiert. Dass der Raum
hier speziell ist, zeigt das Carleson-Hunt-Theorem, dass die Fourier-Reihe einer
-Funktion (mit
) fast überall konvergiert.
1.3. Das Abtasttheorem
Zur Diskretisierung werden kontinuierliche eindimensionale Signale
üblicherweise mit einer konstanten Abtastrate
abgetastet, das heißt, es werden die Werte
gespeichert.
Unter welchen Umständen die Abtastwerte die gesamte Information des Signals beinhalten, zeigt der nächste Satz:
Satz 9 (Abtasttheorem nach Shannon-Whitakker) Es seien
und
so, dass
für
. Dann ist
durch die Werte
bestimmt und es gilt mit

für alle
die Rekonstruktionsformel

Beweis: Der Trick in diesem Beweis besteht darin, dass sich
sowohl als Element in
als auch in
auffassen lässt. Wir können also sowohl die Fourier-Transformation als auch die Fourierreihe von
betrachten. Da
in
liegt, liegt es ebenfalls in
. Damit ist
stetig und die Punktauswertung von
ist wohldefiniert. Wir benutzen die Rekonstruktionsformel der Fourier-Transformation und erhalten
![\displaystyle u(\tfrac{k\pi}{B}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-B}^B \widehat{u}(\xi)\mathrm{e}^{\mathrm{i} \xi \tfrac{k\pi}{B}}{\mathrm d}{\xi} = \sqrt{\tfrac{2}{\pi}}B\,\langle\widehat{u},e_{-k}\rangle_{[-B,B]} \displaystyle u(\tfrac{k\pi}{B}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-B}^B \widehat{u}(\xi)\mathrm{e}^{\mathrm{i} \xi \tfrac{k\pi}{B}}{\mathrm d}{\xi} = \sqrt{\tfrac{2}{\pi}}B\,\langle\widehat{u},e_{-k}\rangle_{[-B,B]}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++u%28%5Ctfrac%7Bk%5Cpi%7D%7BB%7D%29+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%5Cint_%7B-B%7D%5EB+%5Cwidehat%7Bu%7D%28%5Cxi%29%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B%5Cmathrm%7Bi%7D+%5Cxi+%5Ctfrac%7Bk%5Cpi%7D%7BB%7D%7D%7B%5Cmathrm+d%7D%7B%5Cxi%7D+%3D+%5Csqrt%7B%5Ctfrac%7B2%7D%7B%5Cpi%7D%7DB%5C%2C%5Clangle%5Cwidehat%7Bu%7D%2Ce_%7B-k%7D%5Crangle_%7B%5B-B%2CB%5D%7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
(beachte
). Die Werte
bestimmen also die Werte
und da
ist, auch die ganze Funktion
. Damit ist gezeigt, dass
durch die Werte
bestimmt ist. Um die Rekonstruktionsformel zu zeigen, entwickeln wir
in seine Fourierreihe und beachten dabei, dass wir für
mit der charakteristischen Funktion
einschränken müssen:
![\displaystyle \widehat{u}(\xi) = \sum_{k\in{\mathbb Z}} \langle \widehat{u},e_k\rangle_{[-B,B]}e_k(\xi)\chi_{[-B,B]}(\xi) =\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{B}\sum_{k\in{\mathbb Z}} u(-\tfrac{k\pi}{B}) e_k(\xi)\chi_{[-B,B]}(\xi). \displaystyle \widehat{u}(\xi) = \sum_{k\in{\mathbb Z}} \langle \widehat{u},e_k\rangle_{[-B,B]}e_k(\xi)\chi_{[-B,B]}(\xi) =\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{B}\sum_{k\in{\mathbb Z}} u(-\tfrac{k\pi}{B}) e_k(\xi)\chi_{[-B,B]}(\xi).](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++%5Cwidehat%7Bu%7D%28%5Cxi%29+%3D+%5Csum_%7Bk%5Cin%7B%5Cmathbb+Z%7D%7D+%5Clangle+%5Cwidehat%7Bu%7D%2Ce_k%5Crangle_%7B%5B-B%2CB%5D%7De_k%28%5Cxi%29%5Cchi_%7B%5B-B%2CB%5D%7D%28%5Cxi%29+%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5Cfrac%7B1%7D%7BB%7D%5Csum_%7Bk%5Cin%7B%5Cmathbb+Z%7D%7D+u%28-%5Ctfrac%7Bk%5Cpi%7D%7BB%7D%29+e_k%28%5Cxi%29%5Cchi_%7B%5B-B%2CB%5D%7D%28%5Cxi%29.+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
Da die inverse Fourier-Transformation stetig ist, können wir sie an der Reihe vorbeiziehen und bekommen
![\displaystyle u = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{B}\sum_{k\in{\mathbb Z}} u(-\tfrac{k\pi}{B}) \mathcal{F}^{-1}(e_k\chi_{[-B,B]}). \displaystyle u = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{B}\sum_{k\in{\mathbb Z}} u(-\tfrac{k\pi}{B}) \mathcal{F}^{-1}(e_k\chi_{[-B,B]}).](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++u+%3D+%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5Cfrac%7B1%7D%7BB%7D%5Csum_%7Bk%5Cin%7B%5Cmathbb+Z%7D%7D+u%28-%5Ctfrac%7Bk%5Cpi%7D%7BB%7D%29+%5Cmathcal%7BF%7D%5E%7B-1%7D%28e_k%5Cchi_%7B%5B-B%2CB%5D%7D%29.+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
Mit Hilfe der Rechenregeln für die Fouriertransformation und der bekannten Transformierten der charakteristischen Funktion ergibt sich
![\displaystyle \begin{array}{rcl} \mathcal{F}^{-1}(e_k\chi_{[-B,B]})(x) & =& \overline{\mathcal{F}(\overline{M_{k\tfrac{\pi}{B}}\chi_{[-B,B]}})(x)}\\ & = &D_{-1}V_{-k\tfrac{\pi}{B}}\mathcal{F}(\chi_{[-B,B]})(x) = \sqrt{\tfrac{2}{\pi}}B\mathrm{sinc}\bigl(B(-x-\tfrac{k\pi}{B})\bigr)\\ & =& \sqrt{\tfrac{2}{\pi}}B\mathrm{sinc}\bigl(B(x+\tfrac{k\pi}{B})\bigr). \end{array} \displaystyle \begin{array}{rcl} \mathcal{F}^{-1}(e_k\chi_{[-B,B]})(x) & =& \overline{\mathcal{F}(\overline{M_{k\tfrac{\pi}{B}}\chi_{[-B,B]}})(x)}\\ & = &D_{-1}V_{-k\tfrac{\pi}{B}}\mathcal{F}(\chi_{[-B,B]})(x) = \sqrt{\tfrac{2}{\pi}}B\mathrm{sinc}\bigl(B(-x-\tfrac{k\pi}{B})\bigr)\\ & =& \sqrt{\tfrac{2}{\pi}}B\mathrm{sinc}\bigl(B(x+\tfrac{k\pi}{B})\bigr). \end{array}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D++%5Cmathcal%7BF%7D%5E%7B-1%7D%28e_k%5Cchi_%7B%5B-B%2CB%5D%7D%29%28x%29+%26+%3D%26+%5Coverline%7B%5Cmathcal%7BF%7D%28%5Coverline%7BM_%7Bk%5Ctfrac%7B%5Cpi%7D%7BB%7D%7D%5Cchi_%7B%5B-B%2CB%5D%7D%7D%29%28x%29%7D%5C%5C+%26+%3D+%26D_%7B-1%7DV_%7B-k%5Ctfrac%7B%5Cpi%7D%7BB%7D%7D%5Cmathcal%7BF%7D%28%5Cchi_%7B%5B-B%2CB%5D%7D%29%28x%29+%3D+%5Csqrt%7B%5Ctfrac%7B2%7D%7B%5Cpi%7D%7DB%5Cmathrm%7Bsinc%7D%5Cbigl%28B%28-x-%5Ctfrac%7Bk%5Cpi%7D%7BB%7D%29%5Cbigr%29%5C%5C+%26+%3D%26+%5Csqrt%7B%5Ctfrac%7B2%7D%7B%5Cpi%7D%7DB%5Cmathrm%7Bsinc%7D%5Cbigl%28B%28x%2B%5Ctfrac%7Bk%5Cpi%7D%7BB%7D%29%5Cbigr%29.+%5Cend%7Barray%7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
Die Kombination mit der vorhergehenden Formel zeigt die Behauptung. 
Bemerkung 10 Im obigen Fall nennen wir
die Bandbreite des Signals. Die Bandbreite gibt an, welches die höchste Frequenz in dem Signal ist. In Worten gesprochen sagt das Abtasttheorem das Folgende: Hat ein Signal Bandbreite
, so muss es mit der Abtastrate
abgetastet werden, um alle Informationen des Signals zu speichern.
Wir benutzen hier das Wort “Frequenz” nicht in dem Sinne, in dem es in den Ingenieurwissenschaften häufig benutzt wird. Dort wird typischerweise die Kreisfrequenz
benutzt. Ebenso ist dort die Variante der Fourier-Transformation mit dem Term
verbreitet. Damit liest sich die Aussage des Abtasttheorems: Hat ein Signal Frequenzen bis zu einer maximalen Kreisfrequenz
, so muss es mit der Abtastrate
abgetastet werden, um alle Informationen des Signals zu speichern. In anderen Worten: Man muss doppelt so schnell wie die höchste Kreisfrequenz abtasten. Man nennt die Abtastrate
auch Nyquist-Rate.
1.4. Der Alias-Effekt
Der Alias-Effekt ist das, was in diesem Bild oder auch bei Aufrufen von “plot(sin(1:5000),’.’)” in MATLAB zu sehen ist. Das diskrete Bild, beziehungsweise Signal, entspricht nicht dem Originalsignal. Es tauchen Frequenzen in der diskreten Version auf, die im Original nicht enthalten sind. Sie stehen als “Alias” für die richtigen Frequenzen.
Im vorhergehenden Abschnitt haben wir gesehen, dass dieser Effekt nicht auftreten kann, wenn das Signal hoch genug abgetastet wurde. Wie genau der Alias-Effekt entsteht und wie man ihn beheben kann, wollen wir in diesem Abschnitt verstehen.
Wir benötigen ein weiteres Hilfsmittel:
Lemma 11 (Poisson-Formel) Es sei
und
so, dass entweder die Funktion
oder die Reihe
konvergiert. Dann gilt für fast alle

Beweis: Wir definieren die Periodisierung von
als

Ist
, können wir die Funktion durch ihre Fourierreihe darstellen. Die Fourier-Koeffizienten sind
![\displaystyle \begin{array}{rcl} \langle \phi ,e_k\rangle_{[-B,B]} & =& \frac{1}{2B} \int_{-B}^B \phi(\xi)\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \tfrac{k\pi}{B}\xi}{\mathrm d}{\xi}\\ & = &\frac{1}{2B} \int_{-B}^B \sum_{l\in{\mathbb Z}} \widehat{u}(\xi+2Bl)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\tfrac{k\pi}{B}\xi}{\mathrm d}{\xi}\\ & = &\frac{1}{2B} \int_{-B}^B \sum_{l\in{\mathbb Z}} \widehat{u}(\xi+2Bl)\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \tfrac{k\pi}{B}(\xi+2Bl)}{\mathrm d}{\xi}\\ & = &\frac{1}{2B} \int_{\mathbb R} \widehat{u}(\xi)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\tfrac{k\pi}{B}\xi}{\mathrm d}{\xi}\\ & = &\frac{\sqrt{2\pi}}{2B} u(-\tfrac{k\pi}{B}). \end{array} \displaystyle \begin{array}{rcl} \langle \phi ,e_k\rangle_{[-B,B]} & =& \frac{1}{2B} \int_{-B}^B \phi(\xi)\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \tfrac{k\pi}{B}\xi}{\mathrm d}{\xi}\\ & = &\frac{1}{2B} \int_{-B}^B \sum_{l\in{\mathbb Z}} \widehat{u}(\xi+2Bl)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\tfrac{k\pi}{B}\xi}{\mathrm d}{\xi}\\ & = &\frac{1}{2B} \int_{-B}^B \sum_{l\in{\mathbb Z}} \widehat{u}(\xi+2Bl)\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \tfrac{k\pi}{B}(\xi+2Bl)}{\mathrm d}{\xi}\\ & = &\frac{1}{2B} \int_{\mathbb R} \widehat{u}(\xi)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\tfrac{k\pi}{B}\xi}{\mathrm d}{\xi}\\ & = &\frac{\sqrt{2\pi}}{2B} u(-\tfrac{k\pi}{B}). \end{array}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D++%5Clangle+%5Cphi+%2Ce_k%5Crangle_%7B%5B-B%2CB%5D%7D+%26+%3D%26+%5Cfrac%7B1%7D%7B2B%7D+%5Cint_%7B-B%7D%5EB+%5Cphi%28%5Cxi%29%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-%5Cmathrm%7Bi%7D+%5Ctfrac%7Bk%5Cpi%7D%7BB%7D%5Cxi%7D%7B%5Cmathrm+d%7D%7B%5Cxi%7D%5C%5C+%26+%3D+%26%5Cfrac%7B1%7D%7B2B%7D+%5Cint_%7B-B%7D%5EB+%5Csum_%7Bl%5Cin%7B%5Cmathbb+Z%7D%7D+%5Cwidehat%7Bu%7D%28%5Cxi%2B2Bl%29%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-%5Cmathrm%7Bi%7D%5Ctfrac%7Bk%5Cpi%7D%7BB%7D%5Cxi%7D%7B%5Cmathrm+d%7D%7B%5Cxi%7D%5C%5C+%26+%3D+%26%5Cfrac%7B1%7D%7B2B%7D+%5Cint_%7B-B%7D%5EB+%5Csum_%7Bl%5Cin%7B%5Cmathbb+Z%7D%7D+%5Cwidehat%7Bu%7D%28%5Cxi%2B2Bl%29%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-%5Cmathrm%7Bi%7D+%5Ctfrac%7Bk%5Cpi%7D%7BB%7D%28%5Cxi%2B2Bl%29%7D%7B%5Cmathrm+d%7D%7B%5Cxi%7D%5C%5C+%26+%3D+%26%5Cfrac%7B1%7D%7B2B%7D+%5Cint_%7B%5Cmathbb+R%7D+%5Cwidehat%7Bu%7D%28%5Cxi%29%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B-%5Cmathrm%7Bi%7D%5Ctfrac%7Bk%5Cpi%7D%7BB%7D%5Cxi%7D%7B%5Cmathrm+d%7D%7B%5Cxi%7D%5C%5C+%26+%3D+%26%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%7B2B%7D+u%28-%5Ctfrac%7Bk%5Cpi%7D%7BB%7D%29.+%5Cend%7Barray%7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
Also ist die Fourierreihe
![\displaystyle \begin{array}{rcl} \phi(\xi) & = &\sum_{k\in{\mathbb Z}}\langle \phi ,e_k\rangle_{[-B,B]}e_k(\xi)\\ & = &\frac{\sqrt{2\pi}}{2B} \sum_{k\in{\mathbb Z}}u(-\tfrac{k\pi}{B}) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{k\pi}{B}\xi} \end{array} \displaystyle \begin{array}{rcl} \phi(\xi) & = &\sum_{k\in{\mathbb Z}}\langle \phi ,e_k\rangle_{[-B,B]}e_k(\xi)\\ & = &\frac{\sqrt{2\pi}}{2B} \sum_{k\in{\mathbb Z}}u(-\tfrac{k\pi}{B}) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\tfrac{k\pi}{B}\xi} \end{array}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D++%5Cphi%28%5Cxi%29+%26+%3D+%26%5Csum_%7Bk%5Cin%7B%5Cmathbb+Z%7D%7D%5Clangle+%5Cphi+%2Ce_k%5Crangle_%7B%5B-B%2CB%5D%7De_k%28%5Cxi%29%5C%5C+%26+%3D+%26%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%7B2B%7D+%5Csum_%7Bk%5Cin%7B%5Cmathbb+Z%7D%7Du%28-%5Ctfrac%7Bk%5Cpi%7D%7BB%7D%29+%5Cmathrm%7Be%7D%5E%7B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Ctfrac%7Bk%5Cpi%7D%7BB%7D%5Cxi%7D+%5Cend%7Barray%7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
im
-Sinn konvergent, woraus die Behauptung folgt. Andersherum konvergiert obige Fourierreihe, wenn die Koeffizienten
quadratsummierbar sind und die Behauptung folgt ebenfalls. 
Bemerkung 12 Im Spezialfall
erhalten wir die bemerkenswerte Formel

die die Werte von
und
in Beziehung setzt. Diese lässt sich auch als Aussage über die Fourier-Transformierte des sogenannten Dirac-Kamms auffassen: Der Dirac-Kamm zu
ist eine (temperierte) Distribution, definiert durch

(vgl. Aufgabe 16). Die Poisson-Formel gilt insbesondere für Schwartz-Funktionen
, und daher können wir (1) schreiben als

Aus der Definition der Fourier-Transformation für temperierte Distributionen folgt also

Die Fourier-Transformierte eines Dirac-Kamms ist also wieder ein Dirac-Kamm. Insbesondere ist
ein weiterer Fixpunkt der Fourier-Transformation (neben der Gauß-Funktion).
Nun wenden wir uns genauer dem Abtasten zu. Mit Hilfe von Distributionen formuliert, können wir das diskret mit der Rate
abgetastete Signal mit Hilfe eines Dirac-Kamms darstellen:

Ist
unendlich oft differenzierbar (und nicht zu schnell wachsend), so ist der Ausdruck für
genau das Produkt von
mit einem Dirac-Kamm:

Der Zusammenhang von
und
erschließt sich über die Fourier-Transformation.
Lemma 13 Es gilt für fast alle

Beweis: Die Fourier-Transformation von
ist uns schon bekannt

Deshalb ist aufgrund der Poisson-Formel (Lemma~11)


In Worten sagt das Lemma, dass die Fourier-Transformation des abgetasteten Signals einer Periodisierung mit Periode
der Fourier-Transformation des Original-Signals entspricht.
In dieser Sprechweise können wir die Rekonstruktionsformel aus dem Abtasttheorem~9 auch als Faltung interpretieren:

Auf der Fourier-Seite heißt das formal
![\displaystyle \widehat{u}(\xi) = \widehat{u_d}(\xi) \tfrac{B}{\pi}\chi_{[-B,B]}(\xi). \displaystyle \widehat{u}(\xi) = \widehat{u_d}(\xi) \tfrac{B}{\pi}\chi_{[-B,B]}(\xi).](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++%5Cwidehat%7Bu%7D%28%5Cxi%29+%3D+%5Cwidehat%7Bu_d%7D%28%5Cxi%29+%5Ctfrac%7BB%7D%7B%5Cpi%7D%5Cchi_%7B%5B-B%2CB%5D%7D%28%5Cxi%29.+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
Hat
seinen Träger im Intervall
, entsteht bei der Periodisierung kein Überlapp und
entspricht genau
.
Hat allerdings
einen größeren Träger, so hat der Träger von
für mehrere
einen Schnitt mit
. Dieses “Zurückklappen” im Frequenzbereich ist für den Alias-Effekt verantwortlich.
Beispiel 14 (Abtasten von harmonischen Schwingungen) \index{index}{Abtasten} Wir betrachten eine harmonische Schwingung

Die Fourier-Transformation ist

Das Signal hat also formal die Bandbreite
. Wenn wir eine andere Bandbreite
annehmen und das Signal entsprechend mit der Rate
abtasten, erhalten wir auf der Fourier-Seite \begin{equation*} \widehat{u_d} = \tfrac{\pi}{B}\sqrt{\tfrac{\pi}{2}} \sum_{k\in{\mathbb Z}} (\delta_{\xi_0-2kB} + \delta_{-\xi_0-2kB}) \end{equation*} Das Rekonstruieren nach dem Abtasttheorem~9 bedeutet, den Träger von
auf das Intervall
einzuschränken. Um zu verstehen, was das für das Signal bedeutet, müssen wir untersuchen, wie sich dieses Einschränken auf die Reihe auswirkt.
Überabtasten: Nehmen wir eine zu große Bandbreite
an, tasten wir das Signal zu schnell ab. Von den Termen in der Reihe für
liegen genau diejenigen mit
im Intervall
. Es gilt
![\displaystyle \begin{array}{rcl} \widehat{u_d} & = &\tfrac{\pi}{B}\sqrt{\tfrac{\pi}{2}} \sum_{k\in{\mathbb Z}} (\delta_{\xi_0-2kB} + \delta_{-\xi_0-2kB}) \tfrac{B}{\pi}\chi_{[-B,B]}\\ & = &\sqrt{\tfrac{\pi}{2}} (\delta_{\xi_0} + \delta_{-\xi_0}) = \widehat{u}. \end{array} \displaystyle \begin{array}{rcl} \widehat{u_d} & = &\tfrac{\pi}{B}\sqrt{\tfrac{\pi}{2}} \sum_{k\in{\mathbb Z}} (\delta_{\xi_0-2kB} + \delta_{-\xi_0-2kB}) \tfrac{B}{\pi}\chi_{[-B,B]}\\ & = &\sqrt{\tfrac{\pi}{2}} (\delta_{\xi_0} + \delta_{-\xi_0}) = \widehat{u}. \end{array}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D++%5Cwidehat%7Bu_d%7D+%26+%3D+%26%5Ctfrac%7B%5Cpi%7D%7BB%7D%5Csqrt%7B%5Ctfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D+%5Csum_%7Bk%5Cin%7B%5Cmathbb+Z%7D%7D+%28%5Cdelta_%7B%5Cxi_0-2kB%7D+%2B+%5Cdelta_%7B-%5Cxi_0-2kB%7D%29+%5Ctfrac%7BB%7D%7B%5Cpi%7D%5Cchi_%7B%5B-B%2CB%5D%7D%5C%5C+%26+%3D+%26%5Csqrt%7B%5Ctfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D+%28%5Cdelta_%7B%5Cxi_0%7D+%2B+%5Cdelta_%7B-%5Cxi_0%7D%29+%3D+%5Cwidehat%7Bu%7D.+%5Cend%7Barray%7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
Das heißt,
und wir rekonstruieren das Signal perfekt.
Unterabtasten: Nehmen wir eine zu kleine Bandbreite
an, so tasten wir das Signal zu langsam ab. Von den Termen der Reihe liegen wieder genau zwei im Intervall
, nämlich
und
. Das heißt, es gilt
![\displaystyle \widehat{u_d}\,\tfrac{B}{\pi}\chi_{[-B,B]} = \sqrt{\tfrac{\pi}{2}}(\delta_{\xi_0-2B} + \delta_{-(\xi_0-2B)}). \displaystyle \widehat{u_d}\,\tfrac{B}{\pi}\chi_{[-B,B]} = \sqrt{\tfrac{\pi}{2}}(\delta_{\xi_0-2B} + \delta_{-(\xi_0-2B)}).](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++%5Cwidehat%7Bu_d%7D%5C%2C%5Ctfrac%7BB%7D%7B%5Cpi%7D%5Cchi_%7B%5B-B%2CB%5D%7D+%3D+%5Csqrt%7B%5Ctfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%28%5Cdelta_%7B%5Cxi_0-2B%7D+%2B+%5Cdelta_%7B-%28%5Cxi_0-2B%29%7D%29.+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
Wir rekonstruieren also das Signal

Die Rekonstruktion ist wieder eine harmonische Schwingung, aber mit einer anderen Frequenz. Durch Unterabtasten werden hohe Frequenzen
durch niedrige Frequenzen in
dargestellt.
Bemerkung 15 (Abtasten in 2D) Eine einfache Verallgemeinerung des Abtasttheorems und der Erklärung des Alias-Effekts in zwei Dimensionen erhalten wir durch Bildung des Tensorproduktes: Es sei
so, dass die Fourier-Transformation
ihren Träger in Rechteck
hat. In diesem Fall ist
durch die Werte
bestimmt und es gilt die Formel

Ein diskret auf einem Rechteckgitter mit den Abtastraten
und
abgetastetes Bild schreiben wir als

Der Zusammenhang mit dem kontinuierlichen Bild
schreibt sich mit der Fourier-Transformation

Auch hier tritt der Alias-Effekt auf, falls das Bild nicht bandbeschränkt ist oder zu niedrig abgetastet wurde. Zusätzlich zur Änderung der Frequenz tritt hier auch eine Änderung der Richtung auf.
Beispiel 16 (Unterabtasten, Verhindern des Alias-Effektes) Haben wir ein diskretes Bild
gegeben und wollen die Größe um den Faktor
verringern, so liefert das
. Auch bei dieser Unterabtastung erhalten wir wieder einen Alias-Effekt. Um diesen zu verhindern, sollte vor der Unterabtastung ein Tiefpassfilter
angewendet werden, um die Frequenzen zu eliminieren, die durch den Alias-Effekt als falsche Frequenzen rekonstruiert werden. Es bietet sich an, diesen Filter als perfekten Tiefpass mit der Breite
zu wählen, d.h.~
.
2. Abschließende Bemerkungen
Jetzt, wo wir den Vorlesungsstoff hinter uns haben, blicken wir noch einmal auf die vier Transformationen zurück. Es stellt sich heraus, dass sowohl
-Transformation und Fourier-Reihen, als auch bei Laplace-Transformation und Fourier-Transformation jeweils eng zusammenhängen:
-Transformation:
mit “exponentiellem Abfallverhalten bei
”:

Konvergent im Kreisring
.
Inversion:
:

Fourier-Reihe:

“Inversion”:

Ist also
, dann gilt

mit anderen Worten: Die
-Transformation entlang des Einheitskreises entspricht der Fourier-Reihe.
Anstelle des Abfallverhaltens der Folge
bei der
-Transformation tritt bei den Fourier-Reihen eine “Summierbarkeitsbedingung” an die Fourier-Koeffizienten. Als Konsequenz erhält man nicht immer eine Funktion, die sich komplex-differenzierbar über den Einheitskreis hinaus fortsetzen lässt, dafür ist die Konvergenz auf dem Einheitskreis auf verschiedene Arten nachweisbar (z.B. punktweise oder in
).
Laplace-Transformation:
“Original”, exponentiell beschränkt.

gültig für
.
Fourier-Transformation:
integrierbar (z.B. in
).

Ist
, so gilt (mit
für
)

Mit anderen Worten: Die Laplace-Transformation entlang der imaginären Achse ist die Fourier-Transformation.
Ebenso wie beim Zusammenhang von
-Transformation und Fourier-Reihen ist wird “Abfallverhalten bei
” für die Laplace-Transformation durch Integrierbarkeitsanforderungen bei der Fourier-Transformation ersetzt. Es handelt sich auch hier (ebenso wie oben) um zwei verschiedenen Zugänge zu fast identischen Transformationen. Im Fall der Laplace-Transformation ermöglicht die exponentielle Beschränkung, dass es sich bei der Transformierten um eine komplex differenzierbare Funktion handelt. Im Fall der Fourier-Transformation erhält man kaum Regularität der Transformierten, aber dafür (im
-Fall) die gleiche Art der Integrierbarkeit und damit eine praktische Symmetrie von Hin- und Rücktransformation.
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This is the second to last set of notes of my lecture on integral transforms.
1. Die Fourier-Transformation
Die Laplace-Transformation ist “einseitig” in dem Sinne, dass sie für Funktionen auf der Halbachse
definiert ist. Analog zur
-Transformation ließe sich auch eine zweiseitige Transformation definieren: Für
sei

Für die einseitige Transformation haben wir im vorherigen Abschnitt den Wachstumsindex
definiert um die Konvergenzhalbebene der Transformierten zu beschreiben. Untersuchen wir, unter welchen Bedingungen das Integral in der zweiseitigen Transformierten existiert. Dazu spalten wir das Integral (willkürlich) an der Stelle
auf (die Aufspaltung an einer anderen Stelle würde zum gleichen Ergebnis kommen) und stellen die zweiseitige Transformation mit Hilfe der Heaviside-Funktion
als Summe zweier einseitiger dar:

Mit Hilfe der Wachstumsindizes
uns
erkennen wir, dass die zweiseitige erste Transformierte für
und die zweite für
existiert. Also existiert die zweiseitige Transformation auf dem Streifen

Schauen wir uns diesen Streifen einmal in ein paar konkreten Beispielen an:
Beispiel 1
- Wir betrachten
. In diesem Fall haben wir
(das Verhalten von
und
ist gleich und sogar exakt exponentiell) und die zweiseitige Laplace Transformation existiert für
. Wir berechnen
![\displaystyle \begin{array}{rcl} \mathcal{L}_2(f)(s) &=& \int_{-\infty}^\infty \exp(-|t|)\exp(-ts){\mathrm d}{t}\\ &=& \int_{0}^\infty \exp(-t)\exp(-ts){\mathrm d}{t}\\ &&\qquad+\int_{-\infty}^0\exp(t)\exp(-ts){\mathrm d}{t}\\ &=& \Big[\frac{\exp(-t(s+1)}{s+1}\Big]_{0}^\infty + \Big[\frac{\exp(-t(s-1)}{s-1}\Big]_{-\infty}^0\\ &=& -\frac{1}{s+1} + \frac{1}{s-1} = \frac{2}{s^2-1}. \end{array} \displaystyle \begin{array}{rcl} \mathcal{L}_2(f)(s) &=& \int_{-\infty}^\infty \exp(-|t|)\exp(-ts){\mathrm d}{t}\\ &=& \int_{0}^\infty \exp(-t)\exp(-ts){\mathrm d}{t}\\ &&\qquad+\int_{-\infty}^0\exp(t)\exp(-ts){\mathrm d}{t}\\ &=& \Big[\frac{\exp(-t(s+1)}{s+1}\Big]_{0}^\infty + \Big[\frac{\exp(-t(s-1)}{s-1}\Big]_{-\infty}^0\\ &=& -\frac{1}{s+1} + \frac{1}{s-1} = \frac{2}{s^2-1}. \end{array}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D++%5Cmathcal%7BL%7D_2%28f%29%28s%29+%26%3D%26+%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%5Cinfty+%5Cexp%28-%7Ct%7C%29%5Cexp%28-ts%29%7B%5Cmathrm+d%7D%7Bt%7D%5C%5C+%26%3D%26+%5Cint_%7B0%7D%5E%5Cinfty+%5Cexp%28-t%29%5Cexp%28-ts%29%7B%5Cmathrm+d%7D%7Bt%7D%5C%5C+%26%26%5Cqquad%2B%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E0%5Cexp%28t%29%5Cexp%28-ts%29%7B%5Cmathrm+d%7D%7Bt%7D%5C%5C+%26%3D%26+%5CBig%5B%5Cfrac%7B%5Cexp%28-t%28s%2B1%29%7D%7Bs%2B1%7D%5CBig%5D_%7B0%7D%5E%5Cinfty+%2B+%5CBig%5B%5Cfrac%7B%5Cexp%28-t%28s-1%29%7D%7Bs-1%7D%5CBig%5D_%7B-%5Cinfty%7D%5E0%5C%5C+%26%3D%26+-%5Cfrac%7B1%7D%7Bs%2B1%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bs-1%7D+%3D+%5Cfrac%7B2%7D%7Bs%5E2-1%7D.+%5Cend%7Barray%7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
In der Tat ist
eine komplex differenzierbare Funktion mit Polen in
welche genau an den Grenzen des Konvergenzbereiches liegen.
- Wir betrachten
in diesem Fall haben wir weder bei
noch bei
exponentielles Abfallverhalten; es gilt

der Konvergenzbereich
ist also leer. Im Fall
, also für
mit
, gilt allerdings

Das Integral existiert also doch auf der gesamten Linie
.
Das Phänomen im zweiten Teil des Beispiels ist in der Tat keine besondere Ausnahme: Für beschränkte Funktionen, die nicht exponentiell schnell bei
und
abfallen gilt immer
, trotzdem kann das Integral auf der ganzen Linie
existieren, falls die Funktion
absolut integrierbar ist: Wie oben ergibt sich nämlich

Genau dies führt uns auf die Fourier-Transformation. Bevor wir diese definieren, führen wir noch schnell die
-Räume ein, da wir sie in diesen Abschnitt häufiger benötigen:
Definition 2 Für
und
ist der Raum
von Funktionen
definiert durch

Für
definiert man

Das stimmt nicht ganz – korrekterweise besteht der Raum
aus Äquivalenzklassen von messbaren Funktionen, die fast überall übereinstimmen und deren Repräsentanten entsprechend integrierbar sind. Im Fall
muss man eigentlich das wesentliche Supremum nehmen. Diese Feinheit spielt für unseren Alltag in der Vorlesung keine große Rolle. Man muss im Wesentlichen nur beachten, dass
-Funktionen nur fast überall bestimmt sind (und so zum Beispiel keine Punktauswertung erlauben). Die
-Räume sind Vektorräume und mit den Normen

sogar Banach-Räume (hierbei ist die Bildung von Äquivalenzklassen wichtig, da es sich sonst nicht um Normen handelt: für
gibt es zum Beispiel sonst Funktionen außer
deren Norm Null ist). Der Raum
ist mit dem Skalarprodukt

ein Hilbert-Raum.
1.1. Die Fourier-Transformation auf 
Für Funktionen
haben wir schon oben gesehen, dass für absolut integrierbare Funktion (oder anders ausgedrückt, für
) das Integral
für alle
konvergiert. Diese Formel gibt (bis auf eine Konstante) bereits die Fourier-Transformierte. Anders als bei der Laplace-Transformation lässt sich die Fourier-Transformation ohne Probleme auch für Funktionen
definieren und da dies keinerlei Umstände bereitet machen wir das. Für
bezeichen wir mit
das Euklidische Skalarprodukt, mit
bezeichnen wir den Euklidischen Betrag.
Definition 3 (Fourier-Transformation) Sei
und
. Dann ist die Fourier-Transformierte von
in
definiert durch

Die Abbildung
nennen wir Fourier-Transformation.
Im Unterschied zur Laplace-Transformation enthält die Fourier-Transformation noch einen Normierungsfaktor
; seine Bedeutung werden wir später genauer verstehen.
Lemma 4 Die Fourier-Transformation ist als Abbildung von
in den Raum
der stetigen Funktionen (versehen mit der Supremumsnorm
), also
, wohldefiniert, linear und stetig.
Beweis: Der Integrand in der Fourier-Transformation ist für fast alle
stetig in
und für fast alle
durch
beschränkt. Es folgt nach dem Satz der dominierten Konvergenz für
:

also

und damit die Stetigkeit von
. Die Linearität von
ist klar und die Stetigkeit folgt aus der Abschätzung

Es folgt
. 
Insbesondere sind Fouriertransformierte von
-Funktionen beschränkt.
Bemerkung 5 (Alternative Definitionen der Fourier-Transformation) Es werden andere Definitionen der Fourier-Transformation benutzt die sich in der Normierung unterscheiden. Gebräuchlich sind zum Beispiel folgende Varianten:

Weiterhin kann auch das Minuszeichen im Exponenten weggelassen sein. So ist beim Gebrauch von Tabellen von Fouriertransformierten Vorsicht geboten, ebenso wie beim Nachschlagen von Rechenregeln.
Die Fourier-Transformation verträgt sich gut mit Verschiebungen
, mit linearen Koordinatentransformationen
und mit Modulationen
. Verschiebungen kennen wir schon, lineare Koordinatentransformationen und Modultationen definieren wir nun:
Definition 6 Zu
definieren wir

und damit

d.h.
. Zu
definieren wir

und

d.h.
.
Die linearen Koordinatentransformationen hatten wir schon im vorherigen Abschnitt als Skalierung kennengelernt: Für die Einheitsmatrix
und
gilt
. Auch die Spiegelung von
lässt sich durch lineare Koordinatentransformation schreiben als
.
Wir sich Verschiebung, Modulation, Koordinatentransformation und Konjugation mit der Fourier-Transformation vertragen, sammelt das folgende Lemma.
Lemma 7 Es sei
,
und
eine reguläre Matrix. Dann gelten folgende Gleichungen:

Beweis: Zuerst überzeuge man sich davon, dass die Operatoren
,
und
sowohl
als auch
in sich selbst abbilden; es sind also alle auftretenden Ausdrücke wohldefiniert. Nach der Transformationsformel für Integrale gilt

Mit
folgt die Translationsformel, mit
die Modulationsformel. Die Formel für die lineare Koordinatentransformation folgt ebenso direkt aus der Transformationsformel für Integrale und die Formel für die Konjugation erhält man elementar. 
Wie die
-Transformation und die Laplace-Transformation erfüllt auch die Fourier-Transformation einen Faltungssatz:
Satz 8 (Faltungssatz) Für
gilt

Beweis: Wir wenden den Satz von Fubini an:


Ganz analog zum Faltungssatz kann man folgendes Lemma beweisen:
Lemma 9 Für
gilt

An dieser Stelle ist es verlockend, die Aussage des Lemmas als Gleichung von Skalarprodukten zu schreiben. Nach Lemma~7 wäre:

Dies ist allerdings an dieser Stelle nicht erlaubt, da wir die Fourier-Transformation in Definition~3 nur für
-Funktionen definiert haben. Dies hatte auch seinen guten Grund, denn für
-Funktionen kann nicht ohne weiteres gesichert werden, dass das definierende Integral existiert. Es erscheint jedoch wünschenswert und wird sich als überaus hilfreich herausstellen, die Fourier-Transformation nicht nur auf dem (nicht einmal reflexiven) Banach-Raum
sondern auf dem Hilbert-Raum
zur Verfügung zu haben.
1.2. Die Fourier-Transformation auf
und 
Die Fortsetzung der Fourier-Transformation auf den Raum
erfordert einige Arbeit. Als ersten Schritt untersuchen wir die Fourier-Tranformation auf dem Schwartz-Raum und es wird sich herausstellen, dass dieser ganz besonders gut zur Fourier-Transformation passt. Wir erinnern hier noch einmal an die Definition des Schwartz-Raumes und definieren ihn hier auf
. Dazu benutzen wir die praktische Multiindexschreibweise:
Definition 10 Ein Multiindex
ist ein Vektor von natürlichen Zahlen. Zu
und
schreiben wir

Die
-te Komponente des Vektors
enthält also die Potenz der
-ten Koordinate. Für eine Funktion
schreiben wir

Die
-te Komponente des Vektors
sagt also, wie oft in die
-te Koordinatenrichtung abgeleitet wird. Die Notation
anstelle von
ist ebenso gebräuchlich. Die Ordnung eines Multiindexes
ist
. Entsprechend sagt man auch, dass das Polynom
den Grad
hat und spricht von
auch von einer
-ten Ableitung von
.
Mit Multiindizes lässt sich einfach rechnen, und sie verhalten sich im Wesentlichen wie einfache Indizes. So gilt zum Beispiel

und ebenso

Definiert man noch die Fakultät
und für
(was nichts anderes als
,
heißen soll) die Binomialkoeffizienten
, so gelten zum Beispiel der Binomische Lehrsatz

und die Leibniz-Regel

Definition 11 Zu Multiindizes
definieren wir die Funktionale

Der Schwartz-Raum der schnell fallenden Funktionen ist definiert durch

Funktionen
heißen auch Schwartz-Funktionen.
Der Konvergenzbegriff auf dem Schwartz-Raum ist uns ebenfalls schon aus dem vorigen Abschnitt bekannt. Wir formulieren ihn hier noch einmal mit Hilfe der Funktionale
:
Definition 12 Eine Folge
im Schwartz-Raum konvergiert gegen
genau dann, wenn für alle Multiindizes
gilt

Bemerkung 13 Für unsere Zwecke ist die Beschreibung der Topologie
durch Folgenkonvergenz ausreichend. Es sei bemerkt, dass die Funktionale
sogenannte Halbnormen auf dem Schwartz-Raum bilden und ihn damit zu einem metrisierbaren, lokal-konvexen Raum machen, welcher sogar ein Fréchet-Raum ist.
Lemma 14 Der Schwartz-Raum ist nichtleer und abgeschlossen bezüglich Ableitungen beliebiger Ordnung sowie punktweiser Multiplikation.
Beweis: Ein Beispiel für eine Funktion in
ist
wie sich elementar zeigen lässt. Ist
, so gilt für jeden Multiindex

und daher
. Dass mit
auch das Produkt
im Schwartz-Raum liegt, zeigt die Leibnizsche Produktregel denn dann gilt

Es folgt


Der Schwartz-Raum ist in gewisser Weise besonders für die Fourier-Transformation geeignet. Einen ersten Hinweis darauf gibt das folgende Lemma.
Lemma 15 Es sei
,
ein Multiindex und es bezeichne
. Dann gelten die Gleichungen

Beweis: Wir beginnen mit folgenden Hilfsrechnungen:

Mit Hilfe partieller Integration erhalten wir

Durch Vertauschen von Integration und Differentiation ergibt sich

Beide vorangehenden Argumente sind erlaubt, da die Integranden bezüglich
beliebig oft differenzierbar und bezüglich
integrierbar sind. 
Wir sehen also, dass die Fourier-Transformation eine Differentiation in eine Multiplikation überführt und andersherum. Dies lässt schon vermuten, dass der Schwartz-Raum
durch die Fourier-Transformation in sich selbst überführt wird. Bevor wir dies zeigen, beweisen wir noch zwei Lemmas. Im ersten berechnen wir die Fourier-Transformierte der Gauß-Funktion:
Lemma 16 Für die Gauß-Funktion
gilt

das heißt, die Gauß-Funktion ist eine Eigenfunktion der Fourier-Transformation zum Eigenwert eins.
Beweis: Die Gauß-Funktion lässt sich als Tensorprodukt von eindimensionalen Gauß-Funktionen
,
schreiben:
. Mit dem Satz von Fubini erhalten wir

Um die Fourier-Transformierte von
zu bestimmen, bemerken wir, dass
der Differentialgleichung
genügt. Wenden wir die Fourier-Transformation auf diese Gleichung an, erhalten wir mit Hilfe von Lemma~15 die Differentialgleichung
. Weiterhin gilt
. Die Funktionen
und
erfüllen also die gleiche Differentialgleichung mit dem gleichen Anfangswert und müssen also nach dem Satz von Picard-Lindelöf gleich sein. Dies zeigt die Behauptung. 
Wir wenden uns nun der Tatsache zu, dass die Fourier-Transformation den Schwartz-Raum bijektiv und stetig in sich abbildet.
Satz 17 Die Fourier-Transformation ist eine stetige und bijektive Abbildung des Schwartz-Raumes in sich. Für
gilt die Inversionsformel

Beweis: Nach Lemma~15 gilt für jedes

Also ist mit
auch
. Da die Fourier-Transformation linear ist, reicht es, die Stetigkeit in Null zu zeigen. Wir betrachten also eine Nullfolge
im Schwartz-Raum, d.h.~für
gilt
. Das heißt aber, dass dann
und ebenso
für alle
gleichmäßig gegen Null gehen. Daraus folgt, dass die rechte Seite in~(1) gegen Null geht. Insbesondere folgt
und das heißt, dass
eine Nullfolge ist. Dies zeigt die Stetigkeit. Um die Inversionsformel zu zeigen kann man leider nicht den direkten Weg einschlagen und einfach das Doppelintegral in
entsprechend umformen. Man bedient sich eines “konvergenzerzeugenden Faktors”. Außerdem betrachten wir
an Stelle von
. Für zwei beliebige Funktionen
erhalten wir mit Hilfe von Lemma~9 und den Rechenregeln für Translation und Modulation aus Lemma~7 für die Faltung von
und
:

Wählen wir
als reskalierte Gauß-Funktion:

mit dem Ziel, die Funktion
durch Faltung mit
zu approximieren. Das dies geht, zeigt das folgende Lemma:
Lemma 18 Zu einer Funktion
mit den Eigenschaften

und
definieren wir

Dann gilt für gleichmäßig stetiges und beschränktes

Beweis: Die
sind so normiert, dass gilt
. Außerdem gilt für jedes
, dass

Um die punktweise Konvergenz von
gegen
zu zeigen, schätzen wir ab

Nun spalten wir das Integral auf der rechten Seite in die Teile mit
und
und schätzen weiter ab: In beiden Fällen ziehen wir das Supremum von
aus dem Integral:

und

In Gleichung (2) nutzen wir die gleichmäßige Stetigkeit von
und bemerken, dass der Term
für
gegen Null geht während der Integral-Term beschränkt bleibt. In (3) nutzen wir die eingangs gemachte Beobachtung, dass das Integral
für
gegen Null geht während der
-Term beschränkt bleibt. Wir notieren also: Für ein
wählen wir
so klein, dass
. Dann wählen wir
so klein, dass
. Insgesamt ergibt sich

was die Behauptung zeigt. 
Nach der Rechenregel für lineare Koordinatentransformationen aus Lemma~7 folgt
und also auch
. Nach Lemma~16 gilt
und damit auch
. Da
insbesondere beschränkt und stetig ist und außerdem
positiv ist sowie ein auf eins normiertes Integral hat, können wir Lemma~18 anwenden und bekommen für
, dass gilt

Es folgt also

Man beachte, dass wir die Umkehrformel für die Fourier-Transformation auch schreiben können als

Nach der Rechenregel für die Konjugation aus Lemma~7 ergibt sich
und wenn wir
statt
einsetzen, folgt insgesamt


Da der Schwartz-Raum eine Teilmenge von
ist, und sogar eine “dichte Teilmenge”, können wir die Fourier-Transformation mit einem Standardvorgehen von
auf
fortsetzen. Lemma~9 ist dabei zentral.
Satz 19 Es gibt genau einen stetigen Operator
, welcher die Fourier-Transformation
auf
fortsetzt und für alle
die Gleichung
erfüllt. Weiterhin ist dieser Operator
bijektiv und die Umkehrung
ist eine stetige Fortsetzung von
auf
.
Beweis: Für zwei Funktionen
gilt nach Lemma~9 die Gleichung

und insbesondere
. Die Fourier-Transformation ist also eine auf einer dichten Teilmenge des
definierte Isometrie. Demnach existiert eine eindeutige stetige Fortsetzung auf den ganzen Raum; diese konstruiert man (nach einem Standardvorgehen) wie folgt: Zu
wählt man eine Folge
von Schwartz-Funktionen mit
in
. Die Fourier-Transformierte von
wird dann als Grenzwert der Folge
definiert. Dazu ist wichtig:
- Dieser Grenzwert existiert, da
nach Definition eine Cauchy-Folge in
ist, und der Operator
eine Isometrie in
ist; also ist auch
eine Cauchy-Folge).
- Der Grenzwert ist unabhängig von der approximierenden Folge (was wiederum an der Isometrie-Eigenschaft von
liegt).
Aufgrund der Symmetrie zwischen
und
liefert eine analoge Argumentation den Rest der Behauptung. 
Der obige Satz ist auch als Satz von Plancherel bekannt. Streng genommen handelt es sich bei der Fortsetzung von
auf
um einen anderen Operator, also den von
nach
. Manchmal werden diese beiden in der Literatur unterschieden und es wird bei
auch von der Fourier-Plancherel-Transformation gesprochen. Wir machen diese Unterscheidung nicht und bezeichnen auch beide Transformationen mit den gleichen Symbolen.
Bemerkung 20 Wie schon eingehend bemerkt, ist die Integralformel

für eine Funktion
nicht anwendbar, da das Integral nicht existieren muss. Ähnlich wie im obigen Beweis kann man die Fourier-Transformation auch von der Menge
auf
fortsetzen. Dabei approximiert man eine
-Funktion
mit einer Folge
von Funktionen
(und der Beweis ist analog zu obigem). Für die Approximation gibt es einen naheliegenden Weg: Wir setzen
für große Argumente einfach auf Null, d.h. wir nehmen

(d.h.
für
und
sonst). Für eine Funktion aus
ist
natürlich immer noch in
; außerdem aber auch noch in
(mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt
). Das heißt, dass die Funktion

für
im Sinne der
Konvergenz gegen
konvergiert. Analoges gilt für die Umkehrformel. Wir werden in Zukunft diese Unterscheidung unter den Tisch fallen lassen und auch für
-Funktionen mit der Integraldarstellung arbeiten. Die Isometrieeigenschaft
impliziert auch, dass für
gilt

welche unter dem Namen Plancherel-Formel bekannt ist.
Die bekannten Rechenregeln aus Lemma~7, die Symmetrierelationen und der Faltungssatz~8 gelten natürlich ebenso für die Fourier-Transformation auf
. Die Umkehrformel ermöglicht uns folgende Interpretation der Fourier-Transformation:
Beispiel 21 (Frequenzdarstellung einer Funktion) Für
haben wir nach der Umkehrformel

Man kann also in gewissem Sinne sagen, dass sich
als Überlagerung von komplexen Exponentialfunktionen schreiben lässt und dass weiterhin
angibt, wie sehr die zugehörige Exponentialfunktion
zu
beiträgt. Aus diesem Grund nennt man
auch die Frequenzdarstellung von
(in diesem Zusammenhang nennt man
selbst auch Raumdarstellung oder für
auch Zeitdarstellung).
1.3. Die Fourier-Transformation für temperierte Distributionen
Wie auch schon bei der Laplace-Transformation im vorherigen Abschnitt kann die Fourier-Transformation auch auf Distributionen angewendet werden. Und wiederum wie bei der Laplace-Transformation wird das nicht für alle Distributionen gelingen, sondern nur für die temperierten Distributionen. Wir erinnern an die Definition von temperierten Distributionen:
Definition 22 Mit
bezeichnen wir den Dualraum von
, d.h. den Raum aller linearen und stetigen Funktionale
. Wir nennen diesen Raum den Raum der temperierten Distributionen.
Für uns ist wichtig, dass jede Schwartz-Funktion
eine reguläre temperierte Distribution
induziert und zwar auf die bekannte Weise:

Unser Ziel ist es, eine Fourier-Transformation für temperierte Distributionen zu definieren und unser Vorgehen dafür ist wie gehabt: Wir untersuchen, wie die induzierter Distribution einer Fourier-Transformierten aussieht. Nach Lemma~9 gilt

Dies nehmen wir zum Anlass für folgende Definition.
Definition 23 Die Fouriertransformierte von
ist definiert durch

Analog ist die inverse Fouriertransformierte von
gegeben durch

Als erstes Stellen wir fest:
Satz 24 Die Fourier-Transformation
als Abbildung des Raumes der temperierten Distributionen in sich ist bijektiv und wird durch
invertiert.
Beweis: Die Abbildung
ist wohldefiniert, da mit
auch
ist. Da mit
in
auch
in
gilt, folgt für
auch
und wir sehen, dass
temperiert ist. Die Inversionsformel folgt direkt aus der Inversionsformel im Schwartz-Raum:


Beispiel 25 Die Delta-Distribution
ist

und ihre Fourier-Transformierte errechnet sich wie folgt

Wir stellen fest, dass die Fourier-Transformierte von
eine reguläre Distribution ist die durch die Funktion
dargestellt wird. Insbesondere ist die Fourier-Transformierte von
die konstante Funktion
.
Das Rechnen mit temperierten Distributionen im Kontext der Fourier-Transformation stellt meist keine große Schwierigkeit dar. Wir illustrieren dies am Beispiel des Faltungssatzes auf
:
Satz 26 Für
gilt für fast alle
, dass

Beweis: Wir rechnen “distributionell” und zeigen die Gleichung
:


Die Rechenregeln für Fouriertransformierte und Ableitungen aus Lemma~15 gelten analog für Ableitungen im Distributionensinn:
Lemma 27 Es seien
und
und wir bezeichnen
. Ist die distributionelle Ableitung
ebenfalls in
, dann gilt

Ist
, so gilt

Beweis: Auch hier zeigen wir die Gleichung im Distributionensinn. Wir benutzen partielle Integration, Lemma~15 und die Plancherel-Formel~(4) und erhalten für eine Schwartz-Funktion

Die zweite Behauptung folgt analog. 
Zur Übung im Umgang mit Distributionen zeigen wir noch die analoge Aussage für temperierte Distributionen:
Lemma 28 Es sei
und
ein Multiindex. Dann gilt

und

Beweis: Wir setzen eine Schwartz-Funktion
ein und benutzen Lemma~15:

Die zweite Behauptung zeigt man analog. 
Beispiel 29 Grob gesprochen kann man sagen, dass sich (schwache) Differenzierbarkeit einer Funktion in schnellem Abfall der Fourier-Transformierten bei unendlich widerspiegelt. Man betrachte hierzu zum Beispiel die Fouriertransformierten der
-Funktionen
![\displaystyle \begin{array}{rcl} u(x) & = &\chi_{[-1,1]}(x),\\ v(x) & = &\exp(-x^2)\\ w(x) & = &(1+x^2)^{-1}. \end{array} \displaystyle \begin{array}{rcl} u(x) & = &\chi_{[-1,1]}(x),\\ v(x) & = &\exp(-x^2)\\ w(x) & = &(1+x^2)^{-1}. \end{array}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D++u%28x%29+%26+%3D+%26%5Cchi_%7B%5B-1%2C1%5D%7D%28x%29%2C%5C%5C+v%28x%29+%26+%3D+%26%5Cexp%28-x%5E2%29%5C%5C+w%28x%29+%26+%3D+%26%281%2Bx%5E2%29%5E%7B-1%7D.+%5Cend%7Barray%7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
Die Fourier-Transformierte von
hat ein asymptotisches Abfallverhalten wie
bei unendlich; insbesondere ist die Funktion
nicht in
. Für
und
hingegen fallen die Fourier-Transformierten exponentiell; insbesondere ist
für jedes
eine
-Funktion (ebenso für
). Andersherum spiegelt sich das langsame Abfallen von
in einer Nicht-Differenzierbarkeit von
wider.
1.4. Inversion für Transformierte von
-Funktionen
Die Inversion der Fourier-Transformation haben wir schon für Transformierte von Schwartz-Funktionen, von
-Funktionen und von temperierten Distributionen in den Griff bekommen. In alles Fällen war es hilfreich, dass die Fourier-Transformation im gleichen Raum landete, d.h. dass die Rücktransformation mit den gleichen Methoden wie die Hintransformation behandelt werden kann. Weiterhin war nur die Inversion der Transformation von Schwartz-Funktionen durch ein Integral gegeben. In den anderen Fällen haben wir mit Approximationen bzw. Fortsetzungen gearbeitet.
In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, dass auch für Transformierte von
-Funktionen, mit denen wir die Untersuchung der Fourier-Transformation begonnen hatten, eine Inversion möglich ist. Der Einfachheit halber beschränken wir und auf den Fall
, d.h. wir haben es mit Funktionen in
zu tun.
Wir versuchen, ähnlich wie bei der Transformation von
-Funktionen vorzugehen: Die Transformierte
einer
-Funktion ist beschränkt, hat aber kein quantifiziertes Abfallverhalten bei
(bzw. keine weitere Integrierbarkeit). Daher hat das Integral
keinen Grund zu existieren. Wir schneiden es daher auf ein beschränktes Intervall zurück und definieren zu

Dies Integral existiert auf jeden Fall (der Integrand ist stetig und beschränkt, das Integrationsintervall in beschränkt). Was wir hier tun ist also, dass wir den Ausdruck für die inverse Transformation annähern. Anders geschrieben:
, und wenn der Faltungssatz gelten würde, hätten wir (mit der Schreibweise
)
![\displaystyle \sqrt{2\pi}\,\chi_{[-N,N]}\,\hat f = \mathcal{F}(D_N* f) \displaystyle \sqrt{2\pi}\,\chi_{[-N,N]}\,\hat f = \mathcal{F}(D_N* f)](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle++%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%5C%2C%5Cchi_%7B%5B-N%2CN%5D%7D%5C%2C%5Chat+f+%3D+%5Cmathcal%7BF%7D%28D_N%2A+f%29+&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
und damit

Hier würden wir gerne den Grenzübergang
machen und dann hoffen, dass
gegen
konvergiert (in geeignetem Sinne, also z.B. in
). Leider ist die Funktion
keine
-Funktion, so dass die die Faltung
im Allgemeinen nur in
liegt und wir also auf diesem Weg keine Konvergenz in
bekommen können.
Eine Umkehrformel gilt jedoch trotzdem – wir bekommen sie jedoch auf etwas anderem Wege. Der Trick besteht darin, dass wir das Integral nicht nur Abschneiden, sonder auch noch den Integranden ein wenig dämpfen:
Satz 30 (Inversion für Transformierte von
-Funktionen) Es sei
und
. Dann konvergiert die Funktion

in
gegen
.
Beweis: Wir definieren die Funktion
über ihre Fourier-Transformierte:

Es ist

und daher gilt (analog zur obigen Überlegung)

Aus Aufgabe 30 schließen wir, dass die Invers-Transformierte von
die Funktion
ist. Durch Skalierung folgt

Um den Grenzübergang
durchzuführen benötigen wir ein Lemma, ähnlich zu Lemma~18:
Lemma 31 Es seien
mit
und zu
definiere
. Dann gilt

Beweis: Mit dem Satz von Fubini folgt

Nun nutzen wir, dass
-Funktionen, im “1-ten Mittel stetig sind”, das heißt es gilt
für
. Außerdem gilt
und daher gilt nach dem Satz von der dominierten Konvergenz, dass

was den Beweis abschließt. 
Das Lemma ist nun anwendbar mit
(und
), denn es gilt
und daher

Es folgt also


Kommen wir schließlich noch zur Inversion der Laplace-Transformation (die wir damals zurückgestellt hatten. Hier müssen wir etwas trickreich vorgehen, da wir eine punktweise Aussage für
anstreben:
Wir erinnern uns daran, dass die Laplace-Transformierte
einer Funktion
(durch
,
fortgesetzt) gegeben ist durch

Wir untersuchen, wann die Formel

gilt und beginnen mit

Setzen wir
und nehmen
(d.h., dass
eine
-Funktion ist), so müssen wir zeigen, dass für eine Funktion
aus
gilt

(falls der Wert
definiert werden kann, also z.B. falls
in der Nähe der Nullpunktes stetig ist). Wir spalten das Integral in fünf Teile, nämlich für
in
,
,
,
und
.
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