This term I am teaching “Integraltransformation” and plan to put my lecture notes here. Since the lecture is German, the notes are also in German. Here is the first part:

1. Einleitung

Obwohl diese Vorlesung “Integraltransformationen” heißt, behandelt sie nicht nur solche, sondern auch anderen Arten von Transformationen. Konkret behandeln wir:

  • die {z}-Transformation,
  • die Laplace-Transformation,
  • die Fourier-Transformation,
  • Fourier-Reihen

und gegebenfalls noch

  • die Wavelet-Transformation,
  • die gefensterte Fourier-Transformation,
  • die Hilbert-Transformation,
  • die Zak-Transformation.

Die grundlegende Idee bei all diesen Transformationen ist es, einem mathematischen Objekt (zum Beispiel einer Funktion) ein anderes mathematisches Objekt zuzuordnen, welches die Information die das Objekt trägt in anderer Weise kodiert. Dieses neue Objekt kann es dann erlauben, bestimmte Eigenschaften einfacher abzulesen, oder es ist manchmal möglich, bestimmte Änderungen am Objekt in übersichtlicherer Weise darzustellen.

Obwohl alle genannten Transformationen mathematisch interessant und sehr hilfreich sind, haben sie ein Anwendungsfeld, welches nicht nur zur Motivation dient, sondern auch bei der Interpretation eine gute Hilfestellung bietet:

1.1. Signalverarbeitung

Unter einem Signal kann man verschiedenes verstehen – es geht auf jeden Fall um etwas, was Information kodiert und zur Übertragung von einer Stelle an eine andere geeignet ist. Dies kann zum Beispiel sein:

  • ein Schallsignal wie es vom MP3-Player durch das Kopfhörerkabel geleitet wird,
  • eine Folge von Bits wie sie durch das Netzwerkkabel vom Computer geleitet wird,
  • eine elektromagnetische Welle wie sie vom Handy zum Funkmast gesendet wird, oder auch
  • ein digitales Bild wie es auf der Speicherkarte eine Digitalkamera abgelegt wird.

Signale werden grob unterteilt:

  • Analoge Signale: Das “Signal” ist eine Funktion auf einem kontinuierlichen Definitionsbereich, hier ein kontinuierliches Zeitintervall. Beispiele sind das Schallsignal oder die elektromagnetische Welle.
  • Digitale Signale: Das “Signal” ist eine (endliche oder unendliche) Folge von Werten, wie die Bitfolge oder das Digitalbild.

Man könnte auch noch nach dem Wertebereich unterscheiden (ist er diskret, wie bei der Bitfolge und dem Bild, oder kontinuierlich, wie beim Schallsignal). In dieser Vorlesung wird diese Unterscheidung keine Rolle spielen – unsere Signale haben immer kontinuierliche Werte (meist reelle oder komplexe Zahlen).

Eine zentrale Frage der Signalverarbeitung ist es, wie aus analogen Signalen digitale Signale gewonnen werden und wie der umgekehrte Weg beschritten werden kann. Die Thematik läuft unter dem Namen “Abtasten” und “Interpolieren” (innerhalb der E-Technik auch AD- und DA-Konversion; Analog-Digital bzw. Digital-Analog). Weitere Aufgaben sind die Abwandlung/Bearbeitung von Signalen oder auch die Kompression.

Wir werden zwar keine Signalverarbeitung im eigentlichen Sinn behandeln, aber es wird im Folgenden hilfreich sein, sich der Intuition zu bedienen, dass es sich bei den auftretenden Funktionen und Folgen um kontinuierliche bzw.~diskrete Signale handelt.

1.2. Etwas Notation

Wir bezeichen mit {{\mathbb N}} die natürlichen Zahlen (inklusive Null), mit {{\mathbb Z}} die ganzen Zahlen, mit {{\mathbb R}} die reellen und mit {{\mathbb C}} die komplexen Zahlen.

Eine Funktion {f:{\mathbb R}\rightarrow{\mathbb C}} bezeichnen wir auch als komplexwertiges kontinuierliches Signal. Eine Abbildung {f:{\mathbb Z}\rightarrow{\mathbb R}} nennen wir auch reellwertiges diskretes Signal (auch {f:{\mathbb N}\rightarrow{\mathbb R}} wird so genannt). Analog sind natürlich reellwertige kontinuierliche Signale und komplexwertige diskrete Signale zu verstehen. Im Falle von diskreten Signalen benutzen wir auch die Schreibweise {f_n = f(n)} (wie bei Folgen üblich).

Mit {{\mathbb R}^n} bzw {{\mathbb C}^n} bezeichnen wir die {n}-dimensionalen Vektorräume und notieren die euklidschen Normen darauf mit {|x|} (was nicht zu Verwechselungen mit dem Betrag auf {{\mathbb R}} und {{\mathbb C}} führen sollte).

Die komplexe Konjugation von {z\in{\mathbb C}} bezeichnen wir mit {\overline{z}}, den Real- und Imaginärteil von {z} mit {\mathrm{Re}(z)} bzw. {\mathrm{Im}(z)}.

1.3. Literatur

Literatur zum Inhalt dieser Vorlesung gibt es reichlich, z.B.

  • Strampp, W., Voroztsov, E.V., Mathematische Methoden der Signalverarbeitung, Oldenbourg, 2004
  • Föllinger, O., Laplace-, Fourier- und {z}-Transformation, VDE-Verlag, 2011
  • Doetsch, G., Einführung in Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation, Birkhäuser Verlag, 1958
  • Damelin, S.B., Miller, Jr., W., The Mathematics of Signal Processing, Cambridge University Press, 2012
  • Vich, R., {z}-Transformation: Theorie und Anwendung,Verlag Technik, 1964
  • Frey, T., Bossert, M., Signal- und Systemtheorie,Vieweg+Teubner, 2008.

2. Die {z}-Transformation

Die {z}-Transformation macht aus einem diskreten Signal eine holomorphe Funktion. Neben ihrer Anwendung auf diskrete Signale eignet sie sich auch zur Untersuchung von Differenzengleichungen.

Interpretieren wir den Index {n} einer Folge {(f_n)} als diskrete Zeit, so lassen sich diskrete Signale in Kategorien aufteilen: Die Signale die eine “Vergangenheit” haben und die, die nur “von jetzt ab” existieren und noch die, die “nur in der Vergangenheit” existieren.

Definition 1 (Kausale, antikausale und akausale Folgen) Eine zweiseitige Folge {(f_n)_{n\in{\mathbb Z}}} heißt kausal, wenn {f_n=0} für {n<0} gilt. Sie heißt antikausal, wenn {f_n=0} für {n\geq 0} gilt. Gilt keins von beiden, heißt sie akausal.

Eine (einseitige) Folge {(f_n)_{n\in{\mathbb N}}} bezeichnen wir ebenfalls als kausal.

2.1. Definition und elementare Eigenschaften

Definition 2 ({z}-Transformation) Für kausale Folge {f = (f_n)_{n\in{\mathbb N}}} definieren wir die {z}-Transformierteals

\displaystyle \mathcal{Z}(f)(z) = \sum_{n=0}^\infty f_n z^{-n}.

Die Abbildung {\mathcal{Z}} heißt {z}-Transformation. Für zweiseitige Folgen {(f_n)_{n\in{\mathbb Z}}} definieren wir analog die zweiseitige {z}-Transformationdurch

\displaystyle \mathcal{Z}_2(f)(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty f_n z^{-n}.

In der Funktionentheorie haben wir gelernt, wie die Konvergenzbereiche von {z}-Transformierten aussehen:

Proposition 3 (Konvergenzgebiete von {z}-Transformierten) Zu einer Folge {(f_n)_{n\in{\mathbb N}}} existiert {r\geq 0}, so dass {\mathcal{Z}(f)} auf der Menge {\{z\in{\mathbb C}\ :\ r<|z|\}} absolut und lokal gleichmäßig konvergiert. Zu einer zweiseitigen Folge {(f_n)_{n\in{\mathbb Z}}} existieren {0\leq r\leq R}, so dass {\mathcal{Z}_2(f)} auf der Menge {\{z\in{\mathbb C}\ :\ r<|z|<R\}} absolut und lokal gleichmäßig konvergiert. Die Fälle {r,R=\infty} sind zugelassen und bedeuten, dass keine untere, bzw.~obere Schranke für {|z|} besteht.

Man beachte, dass der Fall {r=R} ein leeres Konvergenzgebiet bedeutet. Im Zusammenhang mit der zweiseitigen {z}-Tranformation nennt man den Teil {\sum_{n=0}^\infty f_n z^{-n}} den kausalen Teil (was bis auf den {0}-ten Term dem Hauptteil der Laurentreihe {\mathcal{Z}(f)} entspricht) und den Teil {\sum_{n=-\infty}^{-1} f_n z^{-n}} den antikausalen Teil. Das Konvergenzgebiet von {\mathcal{Z}(f)} ist genau der Schnitt der Konvergenzgebiete des kausalen und antikausalen Teils.

Proposition 4 Existieren für eine zweiseitige Folge {(f_n)_{n\in{\mathbb Z}}} Konstanten {C>0} und {0\leq a < b}, so dass für {n\geq 0} gilt

\displaystyle |f_n|\leq Ca^n,\quad |f_{-n}|\leq Cb^{-n},

dann Konvergiert {\mathcal{Z}(f)} für {a<|z|<b}.

Beweis:Aus {|f_n|\leq Ca^n} (für {n\geq 0}) folgt {\sqrt[n]{|f_n|}\leq \sqrt[n]{C} a} und daher auch

\displaystyle \limsup_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|f_n|} \leq a.

Die Potenzreihe {\sum_{n=0}^\infty f_n z^n} konvergiert nach dem Wurzelkriterium also für {|z|<1/a}, d.h. der kausale Teil von {\mathcal{Z}(f)} konvergiert für {|z|>a}. Ebenso sieht man, dass für {n\geq 0} gilt {\sqrt[n]{|f_{-n}|}\leq \sqrt[n]{C} b} und also auch {\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|f_{-n}|} \leq b^{-1}}. Die Potenzreihe {\sum_{n=1}^\infty f_{-n}z^n} (der antikausale Teil von {\mathcal{Z}(f)}) konvergiert also für {|z|<b}. \Box

Die Wachstumsbedingungen {|f_n|\leq Ca^n} und {|f_{-n}|\leq Cb^{-n}} ({n\geq 0}) garantieren bei {b>a} also die Konvergenz einer zweiseitigen {z}-Transformierten auf einem Kreisring in der komplexen Ebene. Natürlich konvergieren einseitige {z}-Transformierte außerhalb einer Kreisscheibe um den Nullpunkt bei entsprechenden Wachstumsbedingung.

Die {z}-Transformation ist unter anderem geeignet, um Differenzengleichungen zu lösen:

Beispiel 5 (Differenzengleichungen und die {z}-Transformation) Wir betrachten die berühmte Fibonacci-Folge {0,1,1,2,3,5,8,\dots}, welche rekursiv definiert ist:

\displaystyle f_0 = 0,\quad f_1 = 1,\quad f_{n+2} = f_{n+1} + f_n\quad\text{f\"ur } n\in{\mathbb N}. \ \ \ \ \ (1)

 

Natürlich lässt sich für jedes {n} der Wert von {f_n} rekursiv bestimmen. Unter einer “Lösung der Differenzengleichung (1)” verstehen wir allerdings eine explizite Darstellung von {f_n} in Abhängigkeit von {n}. Wir wollen nun beide Seiten von (1){z}-transformieren. Dazu definieren wir die Hilfsfolge {(g_n)} durch {g_n = f_{n+1}}, {n=0,1,\dots} und berechnen

\displaystyle \begin{array}{rcl} \mathcal{Z}(g)(z) & = & \sum_{n=0}^\infty g_n z^{-n} = \sum_{n=0}^\infty f_{n+1} z^{-n}\\ & =& \sum_{n=1}^\infty f_{n} z^{-(n-1)} = z\sum_{n=1}^\infty f_n z^{-n}\\ & = & z(Z(f)(z) - f_0). \end{array}

Ebenso berechnen wir für {h_n = f_{n+2}}

\displaystyle \mathcal{Z}(h)(z) = z^2(Z(f)(z) - f_0 - f_1z^{-1}).

Wir {z}-Transformieren nun die Gleichung (1)und erhalten (unter Benutzung der Werte {f_0=0} und {f_1=1})

\displaystyle z^2\Big(\mathcal{Z}(f)(z) - \frac1z\Big) = z\mathcal{Z}(f)(z) + \mathcal{Z}(f)(z)

was wir nach {\mathcal{Z}(f)} auflösen können

\displaystyle \mathcal{Z}(f)(z) = \frac{z}{z^2-z-1}.

An dieser Stelle müssen wir eine Folge {f} finden, die die Funktion {z/(z^2-z-1)} als {z}-Transformierte hat. Mit Hilfe der Funktionentheorie ist dies möglich. Wir unterbrechen das Beispiel kurz, für einen Satz, der die Koeffizienten einer {z}-Transformierten angibt.

Satz 6 (Umkehrung der {z}-Transformation) Es gelte {F(z) = \sum_{n=0}^\infty f_n z^{-n}} für {0\leq r<|z|} und es sei {\rho>r}. Dann gilt

\displaystyle f_n = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \int_{|z|=\rho} F(z)z^{n-1}{\mathrm d}{z},\quad n\geq 0,

das heißt, die Folge {(f_n)} wird durch die {z}-Transformation in {F(z)} überführt. Außerdem ist {(f_n)} die einzige solche Folge.

Beweis:Die {z}-Transformierte der Folge {(f_n)} ist

\displaystyle \mathcal{Z}(f)(z) = \sum_{n=0}^\infty f_n z^{-n}.

Wir multiplizieren diese Gleichung mit {z^{k-1}} und integrieren beide Seiten über die Kreislinie {|z|=\rho}: Da wir auf Grund der gleichmäßigen Konvergenz entlang des Weges gliedweise Integrieren dürfen ergibt sich

\displaystyle \int_{|z|=\rho} z^{k-1}\mathcal{Z}(f)(z){\mathrm d}{z} = \sum_{n=0}^\infty f_n \int_{|z|=\rho} z^{-n+k-1}{\mathrm d}{z}.

Mit

\displaystyle \int_{|z|=\rho} z^{-n+k-1}{\mathrm d}{z} = \begin{cases} 2\pi\mathrm{i} & \text{für} -n+k-1=-1\\ 0 & \text{sonst.} \end{cases}

folgt {\mathcal{Z}(f) = F}. Die Eindeutigkeit der Folge {(f_n)} ist analog zur Eindeutigkeit der Taylor-Koeffizienten. \Box

Beispiel 7 (Fortsetzung des Fibonacci-Beispiels) Wir müssen also die Funktion {F(z) = z/(z^2-z-1)} betrachten. Es liegen zwei Pole vor die wir als Nullstellen {z_1,z_2} des Nenners berechnen:

\displaystyle z^2-z-1 = 0\quad\leadsto\quad z_1 = \frac{1-\sqrt{5}}{2},\quad z_2 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}.

Wir benutzen nun Satz~6und wählen ein {\rho>\max(|z_1|,|z_2|)} und berechnen

\displaystyle f_n = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{|z|=\rho} F(z)z^{n-1}{\mathrm d}{z} = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{|z|=\rho} \frac{z^{n}}{(z-z_1)(z-z_2)}{\mathrm d}{z}

Mit dem Residuensatz bekommen wir

\displaystyle f_n = \mathrm{Res}_{z_1} \frac{z^{n}}{(z-z_1)(z-z_2)} + \mathrm{Res}_{z_2} \frac{z^{n}}{(z-z_1)(z-z_2)} = \frac{z_1^n - z_2^n}{z_2-z_1}.

Explizit erhalten wir die geschlossene Form der {n}-ten Fibonacci-Zahl

\displaystyle f_n = \frac{(1+\sqrt{5})^n - (1-\sqrt{5})^n}{2^n\sqrt{5}}.

Diese Formel ist auch unter dem Namen “Formel von Moivre-Binet” bekannt. (Ein anderer Beweis dieser Formel stellt die Fibonacci-Folge durch Matrix-Potenzen dar und benutzt die Diagonalisierung der Matrix zur expliziten Darstellung der Einträge der Potenzen.)

Am Beispiel der Fibonacci-Folge haben wir nicht nur die Umkehrformel aus Satz~6, sonder auch schon deren Linearität und einen “Verschiebungssatz” benutzt. Wir sammeln diese und weitere solcher Eigenschaften im folgenden Satz:

Satz 8 (Elementare Eigenschaften der einseitigen {z}-Transformation) Die {z}-Transformierte der Folge {(f_n)_{n\in{\mathbb N}}} habe den Konvergenzbereich {\{|z|>r\}}. Für die einseitige {z}-Transformation gilt:

  • Linearität: Für Folgen {(f_n)_{n\in{\mathbb N}}} und {(g_n)_{n\in{\mathbb N}}} und {c\in{\mathbb C}} gilt

    \displaystyle \mathcal{Z}(f+cg)(z) = \mathcal{Z}(f)(z) + c\mathcal{Z}(g)(z)

    falls {z} in beiden Konvergenzbereichen von {\mathcal{Z}(f)} und {\mathcal{Z}(g)} liegt.

  • Konjugation: Es gilt

    \displaystyle \mathcal{Z}(\overline{f})(z) = \overline{\mathcal{Z}(f)(\overline{z})}.

  • Dämpfung: Für {(f_n)_{n\in{\mathbb N}}} , {\gamma\in{\mathbb C}} und mit {g_n = \gamma^n f_n} gilt für {|z|>|\gamma|r}

    \displaystyle \mathcal{Z}(g)(z) = \mathcal{Z}(f)(\gamma^{-1} z).

  • Differentiation: Für {g_n = n f_n} und {|z|>r} gilt

    \displaystyle \mathcal{Z}(g)(z) = -z\frac{{\mathrm d}{}}{{\mathrm d}{z}}\mathcal{Z}(f)(z).

  • Linksverschiebung: Für {k\in{\mathbb N}}, {k>0} setze {g_n = f_{n+k}}, {n\in{\mathbb N}} (also {g = (f_k,f_{k+1},\dots)}). Dann gilt für {|z|>r}

    \displaystyle \mathcal{Z}(g)(z) = z^k(\mathcal{Z}(f)(z) - \sum_{n=0}^{k-1} f_n z^{-n}).

  • Rechtsverschiebung: Für {k\in{\mathbb N}}, {k>0} setze

    \displaystyle g_n = \begin{cases} 0 & \text{falls}\ n<k\\ f_{n-k} & \text{sonst.} \end{cases}

    (also {g = (0,\dots,0,f_0,f_1,\dots)}). Dann gilt für {|z|>r}

    \displaystyle \mathcal{Z}(g)(z) = z^{-k}\mathcal{Z}(f)(z).

 

Beweis:

  • Linearität folgt aus der Linearität der Reihenbildung.
  • Dämpfung rechnet man direkt nach:

    \displaystyle \mathcal{Z}(g)(z) = \sum_{n=0}^\infty f_n \gamma^n z^{-n} = \mathcal{Z}(f)(\gamma^{-1} z).

  • Konjugation rechnet man ebenso direkt.
  • Differentiation zeigt man, indem man mit {\frac{{\mathrm d}{}}{{\mathrm d}{z}}\mathcal{Z}(f)} startet und Differentiation mit der Reihenbildung vertauscht (lokal gleichmäßige Konvergenz!):

    \displaystyle \frac{{\mathrm d}{}}{{\mathrm d}{z}}\mathcal{Z}(f)(z) = \sum_{n=0}^\infty f_n (-n)z^{-n-1} = -z^{-1}\sum_{n=0}^\infty nf_n z^{-n} = z^{-1}\mathcal{Z}(g)(z).

    Beachte noch, dass gliedweise Differentiation den Konvegrenzbereich unverändert lässt.

  • Linksverschiebung rechnet man wie folgt nach:

    \displaystyle \mathcal{Z}(g)(z) = \sum_{n=k}^\infty f_nz^{-n+k} = z^k(\mathcal{Z}(f)(z) - \sum_{n=0}^{k-1} f_n z^{-n}).

  • Rechtsverschiebung geht noch ein bisschen einfacher:

    \displaystyle \mathcal{Z}(g)(z) = \sum_{n=k}^\infty f_{n-k}z^{-n} = z^{-k}\sum_{n=0}^\infty f_{n}z^{-n} = z^{-k}\mathcal{Z}(f)(z).

    \Box

    Für die zweiseitige Transformation gelten analoge Regeln, nur bei der Verschiebung wird es einfacher und wir können die “Zeit” {n} umkehren:

    Satz 9 (Weitere Regeln für die zweiseitige {z}-Transformation) Die {z}-Transformierte der zweiseitigen Folge {(f_n)_{n\in{\mathbb Z}}} konvergiere für {r<|z| < R}. Dann gilt:

  • Verschiebung: Für {k\in{\mathbb Z}} setze {g_n = f_{n-k}}. Dann gilt für {r<|z|<R}

    \displaystyle \mathcal{Z}_2(g)(z) = z^{-k}\mathcal{Z}_2(f)(z).

  • Zeitumkehr: Mit {g_n = f_{-n}} gilt für {\tfrac{1}{R}<|z|<\tfrac1r}

    \displaystyle \mathcal{Z}_2(g)(z) = \mathcal{Z}_2(f)(\tfrac{1}{z}).

     

  •  

    Beweis: In beiden Fällen sind das elementare Rechnungen, die sich zur Übung lohnen. \Box

    2.2. Rechenbeispiele

    Wir werden im Folgenden häufig die etwas laxe Schreibweise {\mathcal{Z}(f_n)(z)} anstelle von {\mathcal{Z}(f)(z)} benutzen, d.h. anstelle der Folge {f} setzen wir “das {n}-te Folgenglied” ein. Das erspart ein wenig Schreibarbeit und ist manchmal klarer. So wir die Dämpfungsregel zum Beispiel zu

    \displaystyle \mathcal{Z}(\gamma^n f_n)(z) = \mathcal{Z}(f)(\gamma^{-1}z).

    Beispiel 10 (“Einheitssprung”) In der Signalverarbeitung ist der Einheitssprung die Folge, die bei {n=0} vom Wert Null auf Eins springt, d.h.

    \displaystyle f_n = \begin{cases} 0 & \text{für}\ n<0\\ 1 & \text{für}\ n\geq 1. \end{cases}

    Die zweiseitige {z}-Transformierte des Einheitssprunges ist

    \displaystyle \mathcal{Z}_2(f)(z) = \sum_{n=0}^\infty z^{-n} = \frac{1}{1-1/z} = \frac{z}{z-1}.

    Die ist ebenfalls die einseitige {z}-Transformierte der konstanten Folge {f_n=1}, {n\in{\mathbb N}}, d.h. {\mathcal{Z}(1)(z) = z/(z-1)}.

    Beispiel 11 (Komplexe Exponentialfolge) Zu {\gamma\in{\mathbb C}} schließen wir mit der Dämpfungsregel und dem vorherigen Beispiel

    \displaystyle \mathcal{Z}(\gamma^n)(z) = \frac{\gamma^{-1}z}{\gamma^{-1}z -1} = \frac{z}{z-\gamma}.

    Beispiel 12 (Einsatz der Ableitungsregel) Wegen

    \displaystyle \frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}{z}}\mathcal{Z}(1)(z) = \frac{{\mathrm d}{}}{{\mathrm d}{z}}\Big(\frac{z}{z-1}\Big) = -\frac{1}{(z-1)^2}

    schließen wir (wieder aus der bekannten Transformierten des Einheitssprunges)

    \displaystyle \mathcal{Z}(n)(z) = \frac{z}{(z-1)^2}.

    Beispiel 13 Zu {a,b\in{\mathbb C}} mit {a\neq 0} suchen wir die Urbildfolge zur {z}-Transformierten

    \displaystyle \mathcal{Z}(f)(z) = \frac{b}{z-a}.

    Es gilt

    \displaystyle \frac{b}{z-a} = bz^{-1}\frac{z}{z-a}.

    Wir wissen schon {\mathcal{Z}(a^n) = z/(z-a)} und schließen mit der Linearität und der Regel für die Rechtsverschiebung

    \displaystyle f_n = \begin{cases} 0 & \text{für}\ n=0\\ ba^{n-1} & \text{für}\ n\geq 1. \end{cases}

    2.3. Faltungssatz und Anwendung

    Definition 14 Für zwei zweiseitige Folgen {(f_n)_{n\in{\mathbb Z}}} und {(g_n)_{n\in{\mathbb Z}}} ist die Faltungvon {f} und {g} definiert durch

    \displaystyle (f*g)_n = \sum_{\nu=-\infty}^\infty f_\nu g_{n-\nu}

    (wann immer die Reihe konvergiert).

    Bemerkung 15 Die Konvergenz der Reihe in der Definition der Faltung ist unter vielen verschiedenen Umständen gesichert (zum Beispiel, falls eine Folge absolut summiertbar ist, muss die andere nur beschränkt sein und ein Wachstum der einen Folge für {n\rightarrow\pm\infty} kann durch entsprechenden Abfall der anderen Folge ausgeglichen werden). Sind die beiden Folgen {f} und {g} zum Beispiel absolut summierbar, so ist auch {f*g} absolut summierbar, denn

    \displaystyle \sum_n |f*g|_n \leq\sum_n\Big(\sum_\nu|f_\nu|\,|g_{n-\nu}|\Big) = \Big(\sum_\nu |f_\nu|\Big)\Big(\sum_n |g_n|\Big).

    Weiterhin sieht man durch Indexsubstitution, dass die Faltung eine kommutative Operation ist:

    \displaystyle (f*g)_n = \sum_{\nu=-\infty}^\infty f_\nu g_{n-\nu} = \sum_{k=-\infty}^\infty f_{n-k} g_k = (g*f)_n.

    Assoziativität ist nicht immer erfüllt. Um dies zu sehen, betrachten wir {(f*g)*h} und {f*(g*h)}:

    \displaystyle \begin{array}{rcl} ((f*g)*h)_n = \sum_\nu (f*g)_\nu*h_{n-\nu} = \sum_\nu\sum_k f_k g_{\nu-k} h_{n-\nu} \end{array}

    \displaystyle \begin{array}{rcl} (f*(g*h))_n & = & \sum_k f_k(g*h)_{n-k} = \sum_kf_k \sum_l g_l h_{n-k-l}\\ & = & \sum_kf_k \sum_\nu g_{\nu-k} h_{n-\nu}.. \end{array}

    Beide Ausdrücke sind gleich falls wir die Reihen vertauschen dürfen, was zum Beispiel für absolut summierbare Folgen {f}, {g} und {h} der Fall ist. Es zeigt sich also, dass sich absolut summierbare Folgen gut mit der Faltung vertragen. Wir führen daher ein:

    \displaystyle \ell^1({\mathbb Z}) = \{ (f_n)_{n\in{\mathbb Z}}\ :\ \sum_n |f_n|<\infty\}.

    Der Raum {\ell^1({\mathbb Z})} ist ein Vektorraum der üblicherweise mit der Norm {\|f\|_{\ell^1} = \sum_n |f_n|} versehen wird; damit wird er zum normierten Raum (und, da er vollständig ist, sogar zum Banach-Raum). Die Faltung erfüllt auch ein Distributivgesetz, so dass wir festhalten können: {\ell^1({\mathbb Z})} bildet mit der Addition und der Faltung als Produkt eine kommutative und assoziative Algebra. Es gibt hier auch ein Einselement {e}, d.h. ein neutrales Element bzgl. der Faltung, nämlich

    \displaystyle e_n = \delta_{n,0}.

    Beispiel 16 Falten mit

    \displaystyle h_n = \delta_{n,n_0} = \begin{cases} 1 &\text{für }\ n=n_0\\ 0 &\text{sonst.} \end{cases}

    verschiebt das Signal:

    \displaystyle (f*h)_n = \sum_{\nu=-\infty}^\infty f_\nu h_{n-\nu} = f_{n-n_0}.

    Falten mit

    \displaystyle h_n = \begin{cases} 1/(2n_0+1) &\text{für }\ n=-n_0,\dots,n_0\\ 0 &\text{sonst.} \end{cases}

    bildet einen lokalen Mittelwert über die {2n_0+1} Nachbarn:

    \displaystyle (f*h)_n = \sum_{\nu=-\infty}^\infty f_\nu h_{n-\nu} = \frac{1}{2n_0+1}\sum_{\nu=-n_0}^{n_0} f_{n-\nu}.

    Filtern mit dem Einheitssprung {h} (aus Beispiel 10) liefert eine kumulative Summe:

    \displaystyle (f*h)_n = \sum_{\nu=-\infty}^\infty f_\nu h_{n-\nu} = \sum_{\nu\leq n} f_\nu.

    Ist die Faltung eine umkehrbare Operation? Das heißt, kann man die Gleichung {g = f*h} nach {f} auflösen? Anders gesagt: Gibt es zu {h} ein “Faltungsinverses”? Im Allgemeinen nicht, aber wann das geht, kann man mit Hilfe des Faltungssatzes erkennen.

    Der Faltungssatz für die {z}-Transformation sagt, dass die {z}-Transformation die Faltung in eine punktweise Multiplikation überführt:

    Satz 17 (Faltungssatz für die {z}-Transformation, zweiseitig) Die (zweiseitigen) {z}-Transformierten der zweiseitigen Folgen {(f_n)_{n\in{\mathbb Z}}} und {(g_n)_{n\in{\mathbb Z}}} konvergieren für {r<|z|<R}. Dann gilt ebenfalls für {r<|z|<R}

    \displaystyle \mathcal{Z}_2(f*g)(z) = \mathcal{Z}_2(f)(z)\mathcal{Z}_2(g)(z).

    Beweis:Wir beginnen von der rechten Seite. Da die jeweiligen Reihen absolut konvergieren, können wir umsortieren:

    \displaystyle \begin{array}{rcl} \mathcal{Z}_2(f)(z)\mathcal{Z}_2(g)(z) & = & \sum_{n=-\infty}^\infty f_nz^{-n}\sum_{\nu=-\infty}^\infty g_\nu z^{-\nu}\\ & = & \sum_{n=-\infty}^\infty\sum_{\nu=-\infty}^\infty f_n g_\nu z^{-(n+\nu)}\\ & = & \sum_{n=-\infty}^\infty\sum_{k=-\infty}^\infty f_n g_{k-n} z^{-k}\\ & = & \sum_{k=-\infty}^\infty\Big(\sum_{n=-\infty}^\infty f_n g_{k-n}\Big) z^{-k}\\ & = & \mathcal{Z}_2(f*g)(z). \end{array}

    \Box

    Setzen wir kausale Folgen im Faltungssatz sein, erhalten wir den Spezialfall für einseitige Folgen:

    Korollar 18 (Faltungssatz für die {z}-Transformation, einseitig) Die {z}-Transformierten der Folgen {(f_n)_{n\in{\mathbb N}}} und {(g_n)_{n\in{\mathbb N}}} konvergieren für {r<|z|}. Dann gilt mit der Definition

    \displaystyle (f*g)_n = \sum_{\nu=0}^n f_\nu g_{n-\nu}

    ebenfalls für {r<|z|}

    \displaystyle \mathcal{Z}(f*g)(z) = \mathcal{Z}(f)(z)\mathcal{Z}(g)(z).

    Beispiel 19 (Entfaltung) Es seien {f} und {h} zweiseitige Folgen und {g = f*h}. Nach {z}-Transformation können wir die Gleichung formal nach {\mathcal{Z}_2(f)} auflösen, denn nach dem Faltungssatz gilt {\mathcal{Z}_2(g) = \mathcal{Z}_2(f)\,\mathcal{Z}_2(h)} und daher {\mathcal{Z}_2(f) = \mathcal{Z}_2(g)/\mathcal{Z}_2(h)}. Wir nehmen nun an, dass das Konvergenzgebiet von {\mathcal{Z}(h)} jenes von {\mathcal{Z}_2(g)} umfasst (welches wir als {r<|z|<R} annehmen). Hat nun {\mathcal{Z}_2(h)} keine Nullstellen in {r<|z|<R}, so ist {\mathcal{Z}_2(g)/\mathcal{Z}_2(h)} dort komplex differenzierbar (insbesondere hat es keine Pole). In der Tat handelt es sich bei {\mathcal{Z}_2(g)/\mathcal{Z}_2(h)} um eine {z}-Transformierte. Unter Umständen handelt es sich bei {1/\mathcal{Z}_2(h)} auch um eine {z}-Transformierte; die zugehörige Folge könnte man dann als “Faltungsinverse” von {h} bezeichnen. Wir machen dies an einem Beispiel konkret: Wir betrachten die Faltung mit dem Einheitssprung {h} (Beispiel 10). Dieser hat die {z}-Transformierte

    \displaystyle \mathcal{Z}_2(h)(z) = \frac{z}{z-1}.

    Der Kehrwert davon ist

    \displaystyle \frac{1}{\mathcal{Z}_2(h)(z)} = \frac{z-1}{z} = 1 - \frac{1}{z}.

    Die inverse {z}-Transformierte davon lässt sich aus bekannten {z}-Transformierten bestimmen oder raten: Es gilt

    \displaystyle \mathcal{Z}(\delta_{n,0})(z) = \sum_{n\in{\mathbb Z}}\delta_{n,0} z^{-n} = 1

    und

    \displaystyle \mathcal{Z}(\delta_{n,1})(z) = \sum_{n\in{\mathbb Z}}\delta_{n,1} z^{-n} = \frac{1}{z}.

    Die inverse {z}-Transformierte von {1/\mathcal{Z}_2(h)} ist also {\delta_{n,0} - \delta_{n,1}}.

    2.4. Differenzengleichungen

    Nun behandeln wir noch das Lösen von Differenzengleichungen etwas ausführlicher. Zuerst definieren wir Differenzen und Partialsummen von Folgen und geben dann Rechenregeln für die zugehörigen {z}-Transformierten an:

    Definition 20 Zu einer Folge {(f_n)_{n\in{\mathbb N}}} definieren wir die erste Differenz {(\Delta f)_n = f_{n+1}-f_n}, {n\in{\mathbb N}} und die Partialsumme {(\Sigma f)_n = \sum_{\nu=0}^n f_\nu}.

    Satz 21 Die {z}-Transformierte von {(f_n)} konvergiere für {|z|>r}. Es gilt

    \displaystyle \mathcal{Z}(\Delta f) = (z-1)\mathcal{Z}(f)(z) - f_0 z

    (und konvergiert ebenfalls für {|z|>r}) und

    \displaystyle \mathcal{Z}(\Sigma f)(z) = \frac{z}{z-1}\mathcal{Z}(f)(z)

    (und konvergiert für {|z|>\max(1,r)})

    Beweis:Die erste Gleichung folgt aus der Regel für die Linksverschiebung und der Linearität

    \displaystyle \begin{array}{rcl} \mathcal{Z}(\Delta f)(z) & =& \mathcal{Z}(f_{n+1})(z) - \mathcal{Z}(f_n)(z)\\ & = & z(\mathcal{Z}(f_n)(z) - f_0) - \mathcal{Z}(f_n)(z)\\ & =& (z-1)\mathcal{Z}(f_n)(z) - zf_0. \end{array}

    Für die zweite Gleichung rechnen wir direkt

    \displaystyle \begin{array}{rcl} \mathcal{Z}(\Sigma f)(z) &=& \sum_{n=0}^\infty \Big(\sum_{\nu=0}^n f_\nu\Big)z^{-n}\\ & = & \hphantom{+}f_0z^0\\ & & +(f_0 + f_1)z^1\\ & & +(f_0 + f_1 + f_2)z^2\\ & & +\dots\\ & = & \sum_{\nu=0}^\infty\sum_{n=0}^\infty f_n z^{-n-\nu}\\ & = & \sum_{\nu=0}^\infty z^{-\nu}\mathcal{Z}(f)(z) = \frac{z}{z-1}\mathcal{Z}(f)(z). \end{array}

    Bemerke, dass die mittlere Doppelreihe (und somit auch die anderen Ausdrücke) absolut und lokal gleichmäßig konvergieren für {|z|>\max(1,r)}. \Box

    Der Differenzenoperator und der Partialsummenoperator entsprechen grob der Ableitung und dem Integral für Funktionen auf der reellen Achse.

    Beispiel 22 (Differenz und Ableitung) Ist eine Folge durch “Abtasten” einer Funktion {f:{\mathbb R}\rightarrow{\mathbb C}} mit “Abtastrate” {\tau>0} gegeben, so schreiben wir (unter Missbrauch der Notation) {f_n = f(\tau n)}. Dann gilt

    \displaystyle \frac{\Delta f_n}{\tau} = \frac{f_{n+1} - f_n}{\tau} = \frac{f(\tau n + \tau) - f(\tau n)}{\tau}.

    Für {\tau\rightarrow 0} (mit der Kopplung {\tau n = x}) konvergiert die rechte Seite gegen {f'(x)}. Wir betrachten nun die Differenzengleichung

    \displaystyle (\Delta f)_n = \tau f_n

    und berechnen die Lösung mit Hilfe der {z}-Transformation. Es ergibt sich

    \displaystyle (z-1)\mathcal{Z}(f)(z) - zf_0 = \tau\mathcal{Z}(f)(z)

    und daher

    \displaystyle \mathcal{Z}(f) = \frac{zf_0}{z - (1+\tau)}.

    Die Lösung ist also

    \displaystyle f_n = f_0(1+\tau)^n.

    Im Grenzwert {\tau\rightarrow 0} (wieder bei Kopplung {\tau n = x}) erhalten wir den Grenzwert {\exp(x)} wie es auch zu erwarten wäre.

    Lineare Differenzengleichung (auch höherer Ordnung) lassen sich prinzipiell mit Hilfe der {z}-Transformation lösen. Hier noch ein paar Beispiele:

    Beispiel 23

    1. Wir betrachten

      \displaystyle f_{n+2} + f_{n+1} - 2f_n = 1

      mit {f_0=0} und {f_1 = 1}. {z}-Transformation ergibt

      \displaystyle z^2(\mathcal{Z}(f)(z) - f_0 - f_1/z) + z(\mathcal{Z}(f)(z) - f_0) -2\mathcal{Z}(f)(z) = \frac{z}{z-1}

      also

      \displaystyle \frac{z}{z-1} = (z^2 + z - 2)\mathcal{Z}(f)(z) - z = (z-1)(z+2)\mathcal{Z}(f)(z) - z

      damit

      \displaystyle \mathcal{Z}(f)(z) = \frac{z^2}{(z-1)^2(z+2)}.

      Um die inverse {z}-Transformierte zu bestimmen, benutzen wir die Partialbruchzerlegung {\frac{z}{(z-1)^2(z+2)} = \frac{2}{9(z-1)} + \frac{1}{3(z-1)^2} - \frac{2}{9(z+2)}} und bekommen

      \displaystyle \mathcal{Z}(f)(z) = \frac{2z}{9(z-1)} + \frac{z}{3(z-1)^2} - \frac{2z}{9(z+2)}.

      Die invers {z}-Transformierten lassen sich nun ablesen:

      \displaystyle f_n = \frac{2}{9} + \frac{1}{3} k - \frac{2}{9}(-2)^k.

       

    2. Als weiteres Beispiel betrachten wir

      \displaystyle f_{n+3} - 3f_{n+2} + 4f_n = 1

      mit den Anfangsbedingungen { f_0=f_1=f_2=0}. {z}-Transformation ergibt

      \displaystyle z^3\mathcal{Z}(f)(z) - 3z^2\mathcal{Z}(f)(z) +4\mathcal{Z}(f)(z) = \frac{z}{z-1}

      also (nach Bestimmung der Nullstellen von {z^3-3z^2+4})

      \displaystyle \mathcal{Z}(f)(z) = \frac{z}{(z-1)(z-2)^2(z+1)}.

      Partialbruchzerlegung von {1/((z-1)(z-2)^2(z+1))} gibt

      \displaystyle \frac{z}{(z-1)(z-2)^2(z+1)} = \frac{z}{2(z-1)} - \frac{z}{18(z+1)} - \frac{4z}{9(z-2)} + \frac{z}{3(z-2)^2}.

      und mit Hilfe von bekannten {z}-Transformierten und den Rechenregeln können wir die Lösung ablesen:

      \displaystyle f_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{18}(-1)^n - \frac{4}{9}2^n + \frac{1}{3}n2^{n-1}.

     

    2.5. Zur Umkehrung der {z}-Transformation

    In Satz~6haben wir ein Ergebnis zur Umkehrung der einseitigen {z}-Transformation formuliert: Ist {F(z)} die {z}-Transformierte von {(f_n)_{n\in{\mathbb N}}} mit Konvergenzgebiet {|z|>r}, dann gilt für jedes {\rho>r}

    \displaystyle f_n = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{|z|=\rho}F(z)z^{n-1}{\mathrm d}{z}.

    Für die zweiseitige {z}-Transformierte ist die Situation ein klein wenig komplizierter, und es stellt sich heraus, dass es zu einer Funktion {F} durchaus mehrere Folgen geben kann, deren {z}-Transformierte sie ist. Der Grund dafür sind die etwas komplizierteren Konvergenzgebiete, die bei der zweiseitigen Transformation aus Kreisringen und nicht aus Komplementen von Kreisen bestehen.

    Wir betrachten ein Beispiel:

    Beispiel 24 Es sei

    \displaystyle F(z) = \frac{2z^2-3z}{z^2-3z+2}.

    Der Nenner hat die Nullstellen {z_1=1} und {z_2=2}. Es gibt nun drei Möglichkeiten, ein Konvergenzgebiet festzulegen, nämlich:

    1. {|z|>2},
    2. {1<|z|<2} und
    3. {0<|z|<1}.

    Jedes Konvergenzgebiet gehört zu einer anderen zweiseitigen Folge. Um diese Folgen zu berechnen, zerlegen wir {F} als

    \displaystyle F(z) = \frac{z}{z-1} + \frac{z}{z-2}.

    Wir entwickeln die Summanden {z/(z-c)} nun auf zwei verschiedene Arten in Reihen: Einerseits ist

    \displaystyle \frac{z}{z-c} = \sum_{n=0}^\infty c^nz^{-n} \ \ \ \ \ (2)

     

    und andererseits gilt

    \displaystyle \frac{z}{z-c} = -\frac{z}{c}\,\frac{1}{1 - \tfrac{z}{c}} = -\frac{z}{c}\sum_{n=0}^\infty \Big(\frac{z}{c}\Big)^n = -\sum_{n=-1}^{-\infty} \Big(\frac{z}{c}\Big)^{-n}. \ \ \ \ \ (3)

     

    Die erste Reihe konvergiert für {|z|>c}, die zweite für {0<|z|<c}. Für beide Summanden haben wir jeweils zwei Möglichkeit, wobei eine auf ein leeres Konvergenzgebiet führt ({|z|>2} und {|z|<1}). Die relevanten drei Möglichkeiten ergeben:

    1. Wählen wir jeweils die Variante (2), so ergibt sich für {|z|>2}:

      \displaystyle F(z) = \sum_{n=0}^\infty z^{-n} + \sum_{n=0}^\infty 2^n z^{-n},

      also

      \displaystyle f_n = \begin{cases} 0 & n<0\\ 1 + 2^n & n\geq 0 \end{cases}

      bzw.

      \displaystyle f = (\dots,0,\underline{2},3,5,9,17,\dots).

       

    2. Im Konvergenzgebiet {1<|z|<2} ergibt sich

      \displaystyle F(z) = \sum_{n=0}^\infty z^{-n} - \sum_{n=-\infty}^{-1} 2^nz^{-n}

      also

      \displaystyle f_n = \begin{cases} -2^n & n\leq -1\\ 1 & n\geq 0 \end{cases}

      bzw.

      \displaystyle f = ( \dots, -\tfrac18,-\tfrac14,-\tfrac12,\underline{1},1,1,1,\dots).

       

    3. Wählen wir beide Male die Variante (3)ergibt sich im Konvergenzgebiet {0<|z|<1}:

      \displaystyle F(z) = -\sum_{n=-\infty}^{-1} z^{-n} - \sum_{n=-\infty}^{-1} 2^nz^{-n}

      also

      \displaystyle f_n = \begin{cases} -1- 2^n & n\leq -1\\ 0 & n\geq 0 \end{cases}

      bzw.

      \displaystyle f = ( \dots, -1-\tfrac18,-1-\tfrac14,-1-\tfrac12,\underline{0},0,0,0,\dots).

    Wir halten fest: Für eine gegebene Funktion {F:{\mathbb C}\rightarrow{\mathbb C}} erhalten wir eine Invers-{z}-Transformierte indem wir einen Kreisring wählen, in dem {F} komplex differenzierbar ist (insbesondere ohne Polstellen und wesentliche Singularitäten). Für einen Kreislinie mit Radius {\rho} die sich ganz im Inneren des Kreisrings befindet ergibt die Formel

    \displaystyle f_n = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{|z|=\rho}F(z)z^{n-1}{\mathrm d}{z}.

    die Folgenglieder der Invers-{z}-Transformierten. Dass diese Formel für verschiedene Radien {\rho} verschiedene Ergebnisse liefert liegt daran, dass das Integral nach dem Residuensatz den Residuendes Integranden innerhalb der Kreislinie entspricht; in Formeln:

    \displaystyle f_n = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{|z|=\rho}F(z)z^{n-1}{\mathrm d}{z} = \sum_{|\zeta|\leq\rho}\mathrm{Res}_{\zeta}F(z)z^{n-1}.

    Für Berechnungen lohnt es sich oft auf bekannte {z}-Transformierte zurückzugreifen, man muss dabei jedoch die Konvergenzgebiete entsprechend berücksichtigen.

    2.6. Abschlussbemerkungen

    Wir schließen die Behandlung der {z}-Transformation mit einigen Bemerkungen ab:

    1. Die {z}-Transformation hat einen Verwandten in der Mathematik: Die sogenannte erzeugende Funktioneiner Folge {(a_n)_{n\in{\mathbb N}}}. Diese ist

      \displaystyle f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n.

      Sie unterscheidet sich von der {z}-Transformierte nur im den Exponenten des {z} und es gilt {f(z) = \mathcal{Z}(a)(1/z)}. Sie hat vielerlei Anwendungen in der Kombinatorik und auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

    2. Die {z}-Transformierte wird auf Folgen angewendet und lässt sich für zum Beispiel für digitale Signale und für Differenzengleichungen einsetzen. Die Erweiterung auf Funktionen (d.h. analoge Signale) wird die Laplace-Transformation sein (mit welcher dann z.B. Differentialgleichungen gelöst werden können).
    3. Von besonderem Interesse sind beschränkte Folgen (in der Signalverarbeitung sind unbeschränkte Folgen als Signale nicht relevant). Zweiseitige beschränkte Folgen können durchaus ein leeres Konvergenzgebiet haben (wie schon das einfache Beispiel {f_n\equiv 1} zeigt) Sind {r=R=1} so kann entlang des “kritischen Kreises” {|z|=1} keine Aussage über die Konvergenz getroffen werden. Mit Hilfe von Fourier-Reihen werden wir diese Situation weiter untersuchen.